Disco con muelle enganchado en su centro, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Un disco de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal rugosa. El centro del disco está conectado al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} con un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=mg/R} y longitud natural nula. Además, actúa sobre el disco un par de fuerzas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau}=-\tau_0\,\vec{k}} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau_0>0} . En el instante inicial el disco estaba en reposo y su centro se encontraba sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} .

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
2. Calcula la aceleración del centro del disco.
3. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau_0=mgR} , ¿para que valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} el disco empieza a deslizar?

Solución

Diagrama de cuerpo libre

La figura de la derecha muestra las fuerzas y pares de fuerzas que actúan sobre el disco: el par aplicado, su peso, la fuerza elástica del muelle, la fuerza vincular normal del suelo y la fuerza de rozamiento, también ejercida por el suelo. Estas fuerzas se pueden escribir así

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}, & (G)\\ \vec{F}_k = -k\overrightarrow{AG} = -kx\,\vec{\imath}, & (G)\\ \vec{N} = N\,\vec{\jmath}, & (B)\\ \vec{F}_R = f\,\vec{\imath}, & (B)\\ \vec{\tau} = -\tau_0\,\vec{k}. & \end{array} }

Las letras indican los puntos en los que se aplican las fuerzas. Recordemos que un par de fuerzas se aplica a todo el sólido, pues representa la acción de un sistema de fuerzas con resultante nula. Una forma de aplicar este par sería actuar con un destornillador sobre el centro del disco.

Aceleración del disco

Para resolver los problemas que involucran a sólidos rígidos hay que aplicar los dos teoremas fundamentales: El Teorema del Centro de Masas (TCM) y el Teorema del Momento Cinético (TMC).

Teorema del Centro de Masas

La aplicación de este teorema nos da una ecuación vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}_G = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R. }

En el TCM no intervine el par aplicado. Esto se debe a que este par, como se ha dicho antes, representa la acción de un sistema de fuerzas de resultante nula.

Dado que el centro del disco hace un movimiento rectilíneo su aceleración es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_G = a_G\,\vec{\imath} = \ddot{x}\,\vec{\imath}. }

Por tanto, el TCM nos da dos ecuaciones escalares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} ma_G = -kx + f, & (1)\\ 0 = -mg + N. & (2) \end{array} }

Teorema del Momento Cinético

Aplicamos el TMC en el centro de masas del disco

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_G = \vec{M}_G = \overrightarrow{GB}\times\vec{F}_R + \vec{\tau}. }

El peso y la fuerza elástica no crean momento pues se aplican en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . La fuerza normal tampoco pues es paralela a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GB}} . Es aquí donde hay que incluir el par externo.

El momento cinético del disco respecto a su centro es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = I\,\vec{\omega}. }

Llamamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} al momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro. Debido a que el disco rueda sin deslizar, la velocidad de rotación y la velocidad del centro del disco están relacionadas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B} = 0 \Longrightarrow \vec{\omega} = -(v_G/R)\,\vec{k}. }

El signo menos puede entenderse por el hecho de que si el centro del disco se desplaza hacia la derecha (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_G>0} ) el vector de rotación debe apuntar hacia dentro (sentido negativo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ} )

Entonces el momento cinético del disco y su derivada temporal son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{L}_G = -I\dfrac{v_G}{R}\,\vec{k}, \\ \\ \dot{\vec{L}}_G = -I\dfrac{a_G}{R}\,\vec{k}, \\ \end{array} }

El producto vectorial del TMC es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GB}\times\vec{F}_R = (-R\,\vec{\jmath})\times(f\,\vec{\imath}) = fR\,\vec{k}. }

La ecuación que obtenemos del TMC es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -I\,\dfrac{a_G}{R} = fR - \tau_0. \qquad (3) }

Despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} en (3) y sustituyendo en (1) obtenemos la aceleración del centro del disco

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_G = -\dfrac{k}{m+I/R^2}\,x + \dfrac{\tau_0R}{mR^2+I}. }

Tipo de movimiento

Aunque esto no se pedía en el problema, podemos ver que tipo de movimiento describe el centro del disco. Escribiendo la aceleración como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_G = \ddot{x}} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x} = -\dfrac{k}{m+I/R^2}\,x + \dfrac{\tau_0R}{mR^2+I}. }

Es decir, el movimiento descrito por el centro del disco es un Movimiento Armónico Simple (MAS). Si usamos que el momento de inercia es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = mR^2/2} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x} = -\dfrac{2k}{3m}\,x + \dfrac{2\tau_0}{3mR}. }

Obtenemos la posición de equilibrio imponiendo que el centro del disco no se mueva

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x} = \ddot{x} = 0 \Longrightarrow x_{eq} = \dfrac{\tau_0}{kR}. }

La frecuencia angular del movimiento se obtiene observando el factor que multiplica a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} en el lado derecho de la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega^2 = \dfrac{2k}{3m} \Longrightarrow \omega = \sqrt{\dfrac{2k}{3m}}. }

Y el período de oscilación es

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Deslizamiento del disco

La fuerza de rozamiento impide que el disco deslice en el punto de contacto con el suelo. Sin embargo, para que pueda hacerlo, el módulo de esta fuerza de rozamiento no debe superar el valor máximo que puede alcanzar. Es decir, para que no haya deslizamiento debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_R| \leq \mu|\vec{N}|. }

Obtenemos las fuerzas necesarias de las ecuaciones (2) y (3)

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La condición de no deslizamiento se traduce en

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Con esto ya se considera el problema resuelto. Para afinar un poco mas, vamos a suponer que el disco se mueve siempre con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\geq 0} . Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\dfrac{2\tau_0}{3R} + \dfrac{kx}{3}\right| = \dfrac{2\tau_0}{3R} + \dfrac{kx}{3}, }

y la condición de no deslizamiento queda

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Errores principales detectados en la corrección

1. El error más común es olvidarse de aplicar el TMC para resolver el problema. Cuando hay un sólido rígido hay que aplicar el TCM y el TMC.
2. Otro error común, relacionado con el anterior, es introducir el par aplicado en el TCM sumándolo a las fuerzas. Esto es un error muy grave. Para empezar, el par y las fuerzas tienen unidades distintas, por lo que no se pueden sumar. Y el par hay que aplicarlo en el TMC.