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== Enunciado == | |||
Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo | |||
se cortan en ángulo recto. | |||
== Solución == | |||
[[Imagen:F1_GIA_b02_p04.png|right]] | |||
Nombramos los vértices del rombo <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>, como se indica en | |||
la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los | |||
vectores | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{cccc} | |||
\overrightarrow{AB},&\overrightarrow{BC},&\overrightarrow{CD},&\overrightarrow{DA}. | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
Al ser un rombo los lados opuestos tienen la misma longitud y los | |||
vértices opuestos el mismo ángulo. La condición para los vectores es | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{ccc} | |||
\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},&&\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{DA} | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
Las diagonales pueden calcularse como la suma vectorial de los | |||
vectores de los lados | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{cc} | |||
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\\ \\ | |||
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
El producto escalar de los vectores de las diagonales es | |||
<center><math> | |||
\begin{array}{ll} | |||
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}& = | |||
(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})\\ | |||
&=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+ | |||
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CD} | |||
\end{array} | |||
</math></center> | |||
Sustituyendo la primera igualdad de la segunda serie de ecuaciones tenemos | |||
<center><math> | |||
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}= | |||
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+ | |||
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB} | |||
</math></center> | |||
El primer y el último término se anulan pues el producto escalar es | |||
conmutativo. Los otros dos términos son el producto escalar de un | |||
vector por si mismo, es decir | |||
<center><math> | |||
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{BC}|^2 | |||
</math></center> | |||
Pero el módulo de esos vectores es precisamente la longitud del lado | |||
del rombo. Por tanto | |||
<center><math> | |||
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\, \to\, \overrightarrow{AC}\,\perp\,\overrightarrow{BD} | |||
</math></center> | |||
[[Categoría:Vectores libres|0]] | |||
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]] | |||
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]] | |||
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]] |
Revisión actual - 11:33 26 sep 2023
Enunciado
Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.
Solución
Nombramos los vértices del rombo , , , , como se indica en la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los vectores
Al ser un rombo los lados opuestos tienen la misma longitud y los vértices opuestos el mismo ángulo. La condición para los vectores es
Las diagonales pueden calcularse como la suma vectorial de los vectores de los lados
El producto escalar de los vectores de las diagonales es
Sustituyendo la primera igualdad de la segunda serie de ecuaciones tenemos
El primer y el último término se anulan pues el producto escalar es conmutativo. Los otros dos términos son el producto escalar de un vector por si mismo, es decir
Pero el módulo de esos vectores es precisamente la longitud del lado del rombo. Por tanto
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actual | 11:32 26 sep 2023 | 161 × 167 (7 kB) | Pedro (discusión | contribs.) |
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