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Línea 1: |
Línea 1: |
| ==Enunciado==
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| Se tiene un sistema de conductores en forma de bloques prismáticos cuadrados de lado <math>L=20\,\mathrm{cm}</math> de lado y grosor <math>b=1\,\mathrm{cm}</math>. Estos bloques se sitúan paralelamente de forma que entre el primero y el segundo hay un espacio <math>3a</math>; entre el 2º y el 3º hay <math>2a</math> y entre el 3º y el 4º hay <math>a</math>, siendo <math>a=1\,\mathrm{mm}</math>. El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico ideal de permitividad <math>\varepsilon=30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}</math>.
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| El conductor 1 y el 4 se encuentran permanentemente a tierra.
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| <center>[[Archivo:fuente-cuatro-bloques.png]]</center>
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| Inicialmente el interruptor se encuentra en la posición A, de forma que el conductor 2 se encuentra a un potencial <math>V_0=125\,\mathrm{V}</math>$, mientras que el 3 está aislado y descargado.
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| # Calcule el potencial del conductor 3, así como las cargas netas en cada uno de los cuatro conductores.
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| # Halle el campo eléctrico en cada uno de los espacios entre conductores, y las cargas almacenadas en cada una de las superficies conductoras
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| # Suponga que bruscamente se pasa el interruptor de la posición A a la B, conectando los conductores 2 y 3, ¿cómo quedan en ese caso las cargas y potenciales de los diferentes conductores, así como las cargas de cada una de las superficies?
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| # Halle la energía almacenada en el sistema antes y después de mover el interruptor.
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| ¿Cuánta energía se disipa en el proceso?, ¿cómo puede haber desaparecido esta energía?
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| ==Potenciales y cargas iniciales==
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| La forma más sencilla de resolver este problema es mediante un circuito equivalente.
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| Para construir este circuito sustituimos cada conductor por un nodo. Cada par de placas enfrentadas forma un condensador plano, de capacidad
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| <center><math>C=\frac{\varepsilon S}{d}</math></center>
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| siendo
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| <center><math>S=L^2 =(0.2\,\mathrm{m})^2 = 0.04\,\mathrm{m}^2</math></center>
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| la sección de las placas y <math>d</math> la distancia entre placas, que es distinta en cada caso. Las capacidades de los tres condensadores son
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| ;a. Entre el conductor 1 y el 2:
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| <center><math>C_a=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.003\,\mathrm{m}}=400\,\mathrm{pF}</math></center>
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| ;b. Entre el 2 y el 3:
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| <center><math>C_b=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.002\,\mathrm{m}}=600\,\mathrm{pF}</math></center>
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| ;c. Entre el 3 y el 4:
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| <center><math>C_c=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.001\,\mathrm{m}}=1200\,\mathrm{pF}</math></center>
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| El circuito equivalente al sistema sería entonces el siguiente:
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| <center>[[Archivo:circuito-cuatro-bloques-01.png]]</center>
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| A partir de este circuito podemos construir un sistema de ecuaciones cuya solución nos de las cargas y potenciales que desconocemos, a partir de los datos que sí tenemos
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| <center><math>V_1=V_4=0\,\mathrm{V}\qquad V_2=125\,\mathrm{V}\qquad Q_3=0\,\mathrm{nC}</math></center>
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| La carga de cada conductor equivale a la suma de las de las placas conectadas al nodo correspondiente.
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| <center>[[Archivo:circuito-cuatro-bloques-02.png]]</center>
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| Por tanto
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| <center><math>\begin{array}{rcl}
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| Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
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| Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\
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| Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)+C_c(V_3-V_4) \\
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| Q_4 & = & C_c(V_4-V_3)
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| \end{array}</math></center>
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| Sustituimos los datos y los valores de las capacidades y queda el sistema (con la carga en nC y el potencial en V)
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| <center><math>\begin{array}{rcl}
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| Q_1 & = & 0.4(0-125)= -50 \\
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| Q_2 & = & 0.4(125-0) + 0.6(125-V_3) = 125-0.6V_3\\
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| 0 & = & 0.6(V_3-125)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-75 \\
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| Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3
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| \end{array}</math></center>
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| e aquí es inmediato el valor de <math>Q_1</math>
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| <center><math>Q_1=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| y el de <math>V_3</math>
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| <center><math>V_3=\frac{75}{1.8}\,\mathrm{V}=41.7\,\mathrm{V}</math></center>
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| Conocido este dato hallamos <math>Q_4</math>
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| <center><math>Q_4 = -1.2\times 41.7\,\mathrm{nC}=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| y <math>Q_2</math>
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| <center><math>Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}</math></center>
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| Tabulamos todos los resultados
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| {| class="bordeado"
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| |-
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| ! Conductor
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| ! <math>Q</math> (nC)
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| ! <math>V</math> (V)
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| |-
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| | 1
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| | -50
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| | 0
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| |-
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| | 2
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| | 100
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| | 125
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| |-
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| | 3
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| | 0
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| | 41.7
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| |-
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| | 4
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| | -50
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| | 0
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| |}
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| Una forma alternativa de llegar a este resultado es reduciendo el circuito equivalente.
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| Sin cambiar las conexiones, podemos dibujarlo como
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| <center>[[Archivo:circuito-cuatro-bloques-03.png]]</center>
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| Dado que el conductor 3 está descargado, los condensadores b y c están en serie, cumpliendo su capacidad equivalente
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| <center><math>\frac{1}{C_{bc}}=\frac{1}{C_b}+\frac{1}{C_c}=\frac{1}{600\,\mathrm{pF}}+\frac{1}{1200\,\mathrm{pF}}=\frac{1}{400\,\mathrm{pF}}\qquad\Rightarrow\qquad C_{bc}=400\,\mathrm{pF}</math></center>
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| Este condensador está en paralelo con el a, siendo la capacidad equivalente de la asociación completa
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| <center><math>C_{abc}=C_a+C_{bc}=800\,\mathrm{pF}</math></center>
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| Esto nos da la carga del conductor 2, que corresponde a la placa positiva de este conductor equivalente
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| <center><math>Q_2=C_{abc}(V_2-0) = 800\,\mathrm{pF}\times 125\,\mathrm{V}=100\,\mathrm{nC}</math></center>
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| El conductor 1 corresponde a la placa negativa del condensador a, por lo que tiene una carga
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| <center><math>Q_1=C_a(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| Análogamente, el conductar 4 es la placa negativa del condensador bc
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| <center><math>Q_4=C_{bc}(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| Ya tenemos la carga de los cuatro conductores y el potencial de tres de ellos. Queda hallar el potencial del conductor 3. Éste lo sacamos de que este conductor es la placa positiva del condensador c
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| <center><math>Q_4=C_c(V_4-V_3) \qquad\Rightarrow\qquad -50\,\mathrm{nC}=1200\,\mathrm{pF}(0-V_3)\qquad\Rightarrow\qquad V_3 = 41.7\,\mathrm{V}</math></center>
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| ==Campo y cargas en cada superficie==
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| ===Cargas de cada superficie===
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| En los cálculos anterios hemos obtenido la carga neta de cada conductor, pero podemos determinar la carga de cada superficie observando que cada una es una placa de un condensador plano. A partir de la diferencia de potencial entre placas podemos hallar estas cargas en todos los casos como
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| <center><math>Q_{i}=C_{ij}(V_i-V_j)</math></center>
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| siendo <math>Q_i</math> la carga de la placa i, <math>C_{ij}</math> la capacidad del condensador que ésta forma con la placa j y <math>(V_i-V_j)</math> la diferencia de potencial entre las dos. No obstante, existe más de una forma de hallar estas cargas, muchas veces por simples razonamientos de sumas y restas.
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| ;Conductor 1: Su placa exterior está descargada. La placa que da al condensador a almacena una carga
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| <center><math>Q_{1a}=C_a(V_1-V_2)=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| :que coincide por supuesto con la total del conductor.
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| ;Conductor 2: La cara que da al condensador a es opuesta a la que acabamos de hallar
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| <center><math>Q_{2a}=-Q_{1a}=C_a(V_2-V_1)=+50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| :y la que da al conductor b es el resto de la carga del condensador
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| <center><math>Q_{2b}=Q_2-Q_{2a}=+50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| ;Conductor 3: La cara que da al condensador b es la opuesta a esta
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| <center><math>Q_{3b}=-Q_{2b}=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| :y puesto que el conductor 3 está descargado, la carga de la otra cara debe anular a ésta
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| <center><math>Q_{3c}=Q_3-Q_{3b}=0-(-50\,\mathrm{nC})=+50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| ;Conductor 4: Su carga está toda en el condensador c y vale
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| <center><math>Q_{4c}=-Q_{3c}=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
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| ===Campo entre las placas===
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| En un condensador plano, el campo puede hallarse a partir de la diferencia de potencial entre las placas
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| <center><math>\vec{E}=\frac{V_i-V_j}{d}\vec{u}_{ij}</math></center>
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| siendo <math>\vec{u}_{ij}</math> el vector unitario que apunta en el sentido de la placa i a la j.
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| Alternativamente, puede hallarse el campo, que en un condensador plano es uniforme, por su relación con la carga superficial (también uniforme)
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| <center><math>\vec{E}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon}\vec{n}=\frac{Q_i}{\varepsilon L^2}\vec{u}_{ij}</math></center>
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| Por cualquiera de los dos métodos obtenemos los siguientes resultados:
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| ;Entre el conductor 1 y el 2:
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| <center><math>\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{3a}\vec{\imath}=-\frac{125\,\mathrm{V}}{0.003\,\mathrm{m}}\vec{\imath}=-41.7\vec{\imath}\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
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| ;Entre el 2 y el 3:
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| <center><math>\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{2a}\vec{\imath}=\frac{(125-41.7)\,\mathrm{V}}{0.002\,\mathrm{m}}\vec{\imath}=+41.7\vec{\imath}\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
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| ;Entre el 3 y el 4:
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| <center><math>\vec{E}_c=\frac{V_3-V_4}{a}\vec{\imath}=\frac{41.7\,\mathrm{V}}{0.001\,\mathrm{m}}\vec{\imath}=+41.7\vec{\imath}\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
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| Aunque el módulo es el mismo en las tres regiones, el sentido no lo es, ya que el campo siempre va de más a menos potencial, por lo que en la región a va de derecha a izquierda y en las otras dos de izquierda a derecha.
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| ==Estado tras la conexión==
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| Cuando el interruptor pasa de la posición A a la B, deja de estar conectado a la fuente de tensión, por lo que su potencial deja de estar fijado y pasa a tener un valor desconocido por ahora.
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| Por otro lado, el conductor 2 se une al 3, lo que provoca que se produzca un trasvase de carga de uno al otro, debido a la diferencia de potencial entre ellos. Este flujo de carga continúa hasta que se igualan los potenciales de los dos conductores y vuelve a alcanzarse el equilibrio electrostático. Dado que se ha acumulado carga en el conductor 3, tampoco concemos por ahora el valor de la carga de este conductor.
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| Con estas dos nuevas incógnitas, nuestro sistema de ecuaciones queda, midiendo la carga en nC y el potencial en V,
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| <center><math>\begin{array}{rcl}
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| Q_1 & = & 0.4(0-V_2)=-0.4V_2 \\
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| Q_2 & = & 0.4V_2 + 0.6(V_2-V_3) = V_2-0.6V_3\\
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| Q_3 & = & 0.6(V_3-V_2)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-0.6V_2 \\
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| Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3
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| \end{array}</math></center>
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| A estas ecuaciones hay que añadir que los conductores 2 y 3 están al mismo potencial
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| <center><math>V_2 = V_3\,</math></center>
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| y que la carga que se redistribuye entre ellos es la misma que había en el conductor 2 antes de la conexión
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| <center><math>Q_2+Q_3=100\,\mathrm{nC}</math></center>
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| Sumando la segunda y tercera ecuación del sistema de 4 ecuaciones queda
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| <center><math>100 = Q_2+Q_3=0.4V_2+1.2V_3= 1.6V_2\,</math></center>
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| de donde
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| <center><math>V_2=V_3 = 62.5\,\mathrm{V}</math></center>
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| Con esto el cálculo de las cargas es inmediato. Sustituyendo los voltajes llegamos a
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| <center><math>Q_1= -25\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=+25\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3=+75\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_4=-75\,\mathrm{nC}</math></center>
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| Tabulando los resultados:
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| {| class="bordeado"
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| |-
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| ! Conductor
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| ! <math>Q</math> (nC)
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| ! <math>V</math> (V)
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| |-
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| | 1
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| | -25
| |
| | 0
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| |-
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| | 2
| |
| | 25
| |
| | 62.5
| |
| |-
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| | 3
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| | 75
| |
| | 62.5
| |
| |-
| |
| | 4
| |
| | -75
| |
| | 0
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| |}
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| Alternativamente, puede emplearse el circuito equivalente.
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| <center>[[Archivo:circuito-cuatro-bloques-04.png]]</center>
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| Conectar los conductores 2 y 3 equivale a cortocircuitar el condensador b, ya que sus dos placas están unidas por un cable. En ese caso, el condensador b es como si no estuviera y el sistema se reduce a dos condensadores en paralelo, siendo la capacidad equivalente
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| <center><math>C_{ac}=C_a+C_c = 400\,\mathrm{pF}+1200\,\mathrm{pF}=1600\,\mathrm{pF}</math></center>
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| De aquí obtenemos el potencial del conductor 2 (y del 3) ya que conocemos su carga
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| <center><math>V_2=V_3=\frac{100\,\mathrm{nC}}{1600\,\mathrm{pF}}=62.5\,\mathrm{V}</math></center>
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| La carga del conductor 1 es la negativa del conductor abc}
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| <center><math>Q_1=C_a(0-V_2) = -0.4\times 62.5=-25\,\mathrm{nC}</math></center>
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| y la del conductor 2 es la positiva de este mismo condensador
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| <center><math>Q_2=-Q_1 = +25\,\mathrm{nC}</math></center>
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| Análogamente, la carga del conductor 4 es la negativa del condensador c
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| <center><math>Q_4=C_c(0-V_3) = -1.2\times 62.5=-75\,\mathrm{nC}</math></center>
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| y la del 3 la positiva de este mismo condensador
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| <center><math>Q_3=-Q_4=+75\,\mathrm{nC}</math></center>
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| ==Balance energético==
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| La energía de un sistema de conductores viene dada por el sumatorio
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| <center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i</math></center>
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| o, alternativamente, dado el sistema de condensadores equivalente
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| <center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_k C_k(\Delta V_k)^2</math></center>
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| En nuestro caso esto da
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| ;Antes de la conexión
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| <center><math>U_{\mathrm{e}i}=\frac{1}{2}Q_1\cdot 0 + \frac{1}{2}(100\,\mathrm{nC})(125\,\mathrm{V})+\frac{1}{2}0\cdot V_3+\frac{1}{2}Q_4\cdot 0 = 6.25\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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| ;Después de la conexión
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| <center><math>U_{\mathrm{e}f}=3.125\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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| ;Energía disipada: Esta es la diferencia entre las dos cantidades
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| <center><math>\Delta U = -3.125\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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| La diferencia es negativa ya que se pierde energía. Esta energía disipada se va por efecto Joule en la resistencia del cable de conexión.
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