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Cinemática de dos barras articuladas (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '==Enunciado== Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido…')
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:y respecto al sistema fijo
:y respecto al sistema fijo
<center><math>\omega_{31}=\omega_{32}+\omega_{21}=\dot{\theta}+\dot{\phi}</math></center>
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==Velocidades==
==Velocidades==
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===De A===
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La velocidad de A es simplemente la de una rotación en torno a O
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<center><math>\vec{v}^A_{21}=\omega_{01}\vec{k}\times\overightarrow{OA}=\dot{\phi}\vec{k}\times(b\vec{\imath}_2)=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2</math></center>
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===De B===
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La velocidad de B la obtenemos mediante el campo de velocidades
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<center><math>\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\omega_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{31}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{k}\times(b\vec{\imath}_3</math></center>
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El punto A, por ser una articulación entre &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;3&rdquo;, tiene la misma velocidad en ambos sólidos respecto al &ldquo;1&rdquo;
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<center><math>\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2</math></center>
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y, por tanto, la velocidad de B es
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<center><math>\mathrm{\vec{v}^B_{31}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2+b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>
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Si queremos expresar esta velocidad empleando exclusivamente la base &ldquo;2&rdquo; simplemente desarrollamos el último vector
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<center><math>\mathrm{\vec{v}^B_{31}=-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+b(\dot{\phi}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))\vec{\jmath}_2</math></center>
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==Centros instantáneos de rotación==
==Centros instantáneos de rotación==
==Aceleraciones==
==Aceleraciones==

Revisión de 10:58 3 dic 2020

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos OX1Y1. La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolongación del sólido 0. En función de θ, φ y sus derivadas y con ayuda de un sistema OX2Y2 ligado a la primera barra…

  1. Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra respecto al sistema fijo “1”.
  2. Localice la posición del centro instantáneo de rotación I31 del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
  3. Halle la aceleración del extremo B y del centro G del sólido 3 respecto al sistema fijo.

2 Sistemas de referencia

Emplearemos tres sistemas de referencia:

  • El sistema fijo 1, que consideramos inmóvil.
  • El sistema 2, ligado a la primera varilla, con el mismo origen, y tal que el eje OX2 está alineado con ella. Cuando θ = 0, este eje es coincidente con el OX1. En este sistema, la posición del extremo A respoecto al origen es
\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2
y la velocidad angular de este sólido
\omega_{21}=\dot{\phi}
usamos cantidades escalares porque al tratarse de un problema plano todas las velocidades angulares tienen la misma dirección (el sentido lo da el signo).
  • Un sistema 3, ligado a la segunda varilla, con el eje OX3 a lo largo de ella. Cuando θ = 0, coincide con OX2. La posición del extremo B respecto a A es
\overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}_3
La velocidad angular de la varilla 3 respecto a la 2 es
\omega_{32}=\dot{\theta}
y respecto al sistema fijo
\omega_{31}=\omega_{32}+\omega_{21}=\dot{\theta}+\dot{\phi}

3 Velocidades

3.1 De A

La velocidad de A es simplemente la de una rotación en torno a O

No se pudo entender (función desconocida\overightarrow): \vec{v}^A_{21}=\omega_{01}\vec{k}\times\overightarrow{OA}=\dot{\phi}\vec{k}\times(b\vec{\imath}_2)=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2

3.2 De B

La velocidad de B la obtenemos mediante el campo de velocidades

\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\omega_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{31}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{k}\times(b\vec{\imath}_3

El punto A, por ser una articulación entre “2” y “3”, tiene la misma velocidad en ambos sólidos respecto al “1”

\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2

y, por tanto, la velocidad de B es

No se pudo entender (error de sintaxis): \mathrm{\vec{v}^B_{31}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2+b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3

Si queremos expresar esta velocidad empleando exclusivamente la base “2” simplemente desarrollamos el último vector

No se pudo entender (error de sintaxis): \mathrm{\vec{v}^B_{31}=-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+b(\dot{\phi}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))\vec{\jmath}_2

4 Centros instantáneos de rotación

5 Aceleraciones

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