Enunciado
Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_1Y_1}
. La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolongación del sólido 0. En función de θ, φ y sus derivadas y con ayuda de un sistema Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_2Y_2}
ligado a la primera barra…
- Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra respecto al sistema fijo “1”.
- Localice la posición del centro instantáneo de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{31}}
del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
- Halle la aceleración del extremo B y del centro G del sólido 3 respecto al sistema fijo.
Sistemas de referencia
Emplearemos tres sistemas de referencia:
- El sistema fijo 1, que consideramos inmóvil.
- El sistema 2, ligado a la primera varilla, con el mismo origen, y tal que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_2}
está alineado con ella. Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0}
, este eje es coincidente con el
. La relación de la base de este sistema con la del sistema 1 la da una rotación de un ángulo 
:
- En este sistema, la posición del extremo A respoecto al origen es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2}
- y la velocidad angular de este sólido
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}=\dot{\phi}}
- usamos cantidades escalares porque al tratarse de un problema plano todas las velocidades angulares tienen la misma dirección (el sentido lo da el signo).
- Un sistema 3, ligado a la segunda varilla, con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_3}
a lo largo de ella. Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0}
, coincide con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {OX}_2}
. La relación de la base de este sistema con la del sistema 2 la da una rotación de un ángulo θ:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_3=\cos(\theta)\vec{\imath}_2+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{\jmath}_3=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+\cos(\theta)\vec{\jmath}_2}
- La posición del extremo B respecto a A es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}_3}
- La velocidad angular de la varilla 3 respecto a la 2 es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{32}=\dot{\theta}}
- y respecto al sistema fijo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{31}=\omega_{32}+\omega_{21}=\dot{\theta}+\dot{\phi}}
Velocidades
De A
La velocidad de A es simplemente la de una rotación en torno a O
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=\dot{\phi}\vec{k}\times(b\vec{\imath}_2)=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2}
De B
La velocidad de B la obtenemos mediante el campo de velocidades
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\omega_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{31}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{k}\times(b\vec{\imath}_3}
El punto A, por ser una articulación entre “2” y “3”, tiene la misma velocidad en ambos sólidos respecto al “1”
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2}
y, por tanto, la velocidad de B es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{31}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2+b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3}
Si queremos expresar esta velocidad empleando exclusivamente la base “2” simplemente desarrollamos el último vector
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B_{31}=-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+b(\dot{\phi}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))\vec{\jmath}_2}
Centros instantáneos de rotación
Del movimiento {21}
Este es simplemente el punto O, alrededor del cual gira la barra OA.
Del movimiento {32}
Este es A, alrededor del cual gira la barra AB en este movimiento.
Del movimiento {31}
Este debe estar alineado con los dos anteriores. Obtenemos su posición a partir de la velocidad de A
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI}_{31}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{31}}{\omega_{31}}=\frac{-b\dot{\phi}}{\dot{\phi}+\dot{\theta}}\vec{\imath}_2}
y, respecto al origen de coordenadas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}_{31}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{31}=\frac{b\dot{\theta}}{\dot{\phi}+\dot{\theta}}\vec{\imath}_2}
Este centro se encuentra efectivamente alineado con los otros dos, al hallarse sobre la recta OA. Dependiendo de los signos de las velocidades angulares, puede estar entre O y A, fuera del segmento o incluso en el infinito (caso de una traslación si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}=-\dot{\phi}}
).
Aceleraciones
La aceleración de B la calculamos hallando primero la de A
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{21}=\alpha_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{21}^2 \overrightarrow{OA}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^A_{31}=\overbrace{\vec{a}^A_{32}}^{=\vec{0}}+\vec{a}^A_{21}+2\omega_{21}\vec{k}\times\overbrace{\vec{v}^A_{32}}^{=\vec{0}}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2}
y a continuación la de B
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^B_{31}=\vec{a}^A_{31}+\alpha_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}-\omega_{31}^2\overrightarrow{AB}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+b(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3}
El escribir este resultado en una sola base complica notablemente la expresión.
La aceleración de G, el punto medio de A y B, es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^G_{31}=\frac{\vec{a}^A_{31}+\vec{a}^B_{31}}{2}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-\frac{b}{2}(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+\frac{b}{2}(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3}
