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Cinemática de dos barras articuladas (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud b situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra (“sólido 2”) tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él formando un ángulo φ(t) respecto a un sistema de ejes fijos OX1Y1. La segunda barra (“sólido 3”) está articulada en el extremo A de la primera de manera que forma un ángulo θ(t) con la prolongación del sólido 0. En función de θ, φ y sus derivadas y con ayuda de un sistema OX2Y2 ligado a la primera barra…

  1. Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra respecto al sistema fijo “1”.
  2. Localice la posición del centro instantáneo de rotación I31 del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos.
  3. Halle la aceleración del extremo B y del centro G del sólido 3 respecto al sistema fijo.

2 Sistemas de referencia

Emplearemos tres sistemas de referencia:

  • El sistema fijo 1, que consideramos inmóvil.
  • El sistema 2, ligado a la primera varilla, con el mismo origen, y tal que el eje OX2 está alineado con ella. Cuando θ = 0, este eje es coincidente con el OX1. La relación de la base de este sistema con la del sistema 1 la da una rotación de un ángulo φ:
\vec{\imath}_2=\cos(\phi)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\phi)\vec{\jmath}_1\qquad\qquad \vec{\jmath}_2=-\mathrm{sen}(\phi)\vec{\imath}_1+\cos(\phi)\vec{\jmath}_1
En este sistema, la posición del extremo A respoecto al origen es
\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_2
y la velocidad angular de este sólido
\omega_{21}=\dot{\phi}
usamos cantidades escalares porque al tratarse de un problema plano todas las velocidades angulares tienen la misma dirección (el sentido lo da el signo).
  • Un sistema 3, ligado a la segunda varilla, con el eje OX3 a lo largo de ella. Cuando θ = 0, coincide con OX2. La relación de la base de este sistema con la del sistema 2 la da una rotación de un ángulo θ:
\vec{\imath}_3=\cos(\theta)\vec{\imath}_2+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{\jmath}_3=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+\cos(\theta)\vec{\jmath}_2
La posición del extremo B respecto a A es
\overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}_3
La velocidad angular de la varilla 3 respecto a la 2 es
\omega_{32}=\dot{\theta}
y respecto al sistema fijo
\omega_{31}=\omega_{32}+\omega_{21}=\dot{\theta}+\dot{\phi}

3 Velocidades

3.1 De A

La velocidad de A es simplemente la de una rotación en torno a O

\vec{v}^A_{21}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=\dot{\phi}\vec{k}\times(b\vec{\imath}_2)=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2

3.2 De B

La velocidad de B la obtenemos mediante el campo de velocidades

\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\omega_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}^A_{31}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{k}\times(b\vec{\imath}_3

El punto A, por ser una articulación entre “2” y “3”, tiene la misma velocidad en ambos sólidos respecto al “1”

\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2

y, por tanto, la velocidad de B es

\vec{v}^B_{31}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}_2+b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3

Si queremos expresar esta velocidad empleando exclusivamente la base “2” simplemente desarrollamos el último vector

\vec{v}^B_{31}=-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_2+b(\dot{\phi}+(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))\vec{\jmath}_2

4 Centros instantáneos de rotación

4.1 Del movimiento {21}

Este es simplemente el punto O, alrededor del cual gira la barra OA.

4.2 Del movimiento {32}

Este es A, alrededor del cual gira la barra AB en este movimiento.

4.3 Del movimiento {31}

Este debe estar alineado con los dos anteriores. Obtenemos su posición a partir de la velocidad de A

\overrightarrow{AI}_{31}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{31}}{\omega_{31}}=\frac{-b\dot{\phi}}{\dot{\phi}+\dot{\theta}}\vec{\imath}_2

y, respecto al origen de coordenadas

\overrightarrow{OI}_{31}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{31}=\frac{b\dot{\theta}}{\dot{\phi}+\dot{\theta}}\vec{\imath}_2

Este centro se encuentra efectivamente alineado con los otros dos, al hallarse sobre la recta OA. Dependiendo de los signos de las velocidades angulares, puede estar entre O y A, fuera del segmento o incluso en el infinito (caso de una traslación si \dot{\theta}=-\dot{\phi}).

5 Aceleraciones

La aceleración de B la calculamos hallando primero la de A

\vec{a}^A_{21}=\alpha_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{21}^2 \overrightarrow{OA}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2
\vec{a}^A_{31}=\overbrace{\vec{a}^A_{32}}^{=\vec{0}}+\vec{a}^A_{21}+2\omega_{21}\vec{k}\times\overbrace{\vec{v}^A_{32}}^{=\vec{0}}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2

y a continuación la de B

\vec{a}^B_{31}=\vec{a}^A_{31}+\alpha_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}-\omega_{31}^2\overrightarrow{AB}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-b(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+b(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3

El escribir este resultado en una sola base complica notablemente la expresión.

La aceleración de G, el punto medio de A y B, es


\vec{a}^G_{31}=\frac{\vec{a}^A_{31}+\vec{a}^B_{31}}{2}=-b\dot{\phi}^2\vec{\imath}_2+b\ddot{\phi}\vec{\jmath}_2-\frac{b}{2}(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2\vec{\imath}_3+\frac{b}{2}(\ddot{\phi}+\ddot{\theta})\vec{\jmath}_3

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