(Página creada con «== Enunciado == right El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro <math>C</math> de su hélice describe una circunferencia de radio <math>L</math>. La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es <math>|\vec{\omega}_{01}|=\Omega</math>. Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es <math>R</math>, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocida…»)
 
(Página creada con «== Enunciado == Un punto recorre una circunferencia de radio <math>R</math>, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo <math>\alpha</math> con el eje <math>OX</math>. #Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>. #Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>. # Si el ángulo <math>\alpha</m…»)
 
Línea 1: Línea 1:
== Enunciado ==
== Enunciado ==
[[Imagen:F1_GIA_avion_girando_enunciado.png|right]]
Un punto recorre una circunferencia de radio <math>R</math>, de modo que en cada
El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro <math>C</math> de su hélice describe una circunferencia de radio <math>L</math>.  La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es <math>|\vec{\omega}_{01}|=\Omega</math>.  Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es <math>R</math>,   gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo <math>|\vec{\omega}_{20}|=\omega</math>.  Se pide
instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo <math>\alpha</math> con el eje <math>OX</math>.
#La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
#Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>.
#Aplicando la composición de velocidades, la velocidad <math>\vec{v}_{21}^P</math> y aceleración <math>\vec{a}_{21}^P</math> del punto más alto de la hélice (punto <math>P</math> en la figura).  
#Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo <math>\alpha</math>.
# La reducción cinemática del movimiento {21} en <math>P</math> y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
# Si el ángulo <math>\alpha</math> depende del tiempo como <math>\alpha=\omega t</math>, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.
# Calcule numéricamente <math>|\vec{v}_{21}^P|</math> y <math>|\vec{a}_{21}^P|</math> para los valores <math>R=1\,\mathrm{m}</math>, <math>L=100\,\mathrm{m}</math>, <math>\omega=100\,\mathrm{rad/s}</math> y <math>\Omega=1\,\mathrm{rad/s}</math>.
 
'''Nota:''' Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.


== Solución ==
== Solución ==
===Reducción cinemática de {01} ===
El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta
<math>OZ_1\equiv OZ_0</math>.  El punto <math>O</math> pertenece al eje de giro, por lo que
<math>\vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}</math>.  El enunciado dice que el módulo de la
velocidad angular es <math>|\vec{\omega}_{01}|=\Omega</math>.  Según el giro que se indica
en la figura apunta en el sentido positivo del eje <math>Z_0</math>.  Por tanto la
reducción en el punto <math>O</math> es
<center><math>
  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1&&\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv
    OZ_0\equiv OZ_1\\  &&\\\vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}&&
  \end{array}
</math></center>


===Reducción cinemática de {20} ===
=== Vector en función del ángulo <math>\alpha </math>===
Este  movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que
[[Imagen:F1_GIC_derivada_de_un_vector.png|right]]
pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues,
Proyectamos el vector de posición sobre los ejes <math>OX </math> y <math>OY </math>
el punto <math>C</math> pertenece al eje de giro, por lo que
<center>
<math>\vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}</math>.  En el dibujo también se observa que el eje
<math>
de giro es paralelo a <math>OY_0</math>.  Como el enunciado dice que el módulo de la
\vec{r}(\alpha) = R\cos\alpha\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}
velocidad angular es <math>|\vec{\omega}_{20}|=\omega</math>, la reducción en el punto <math>C</math> es
</math>
<center><math>
</center>
  \begin{array}{lcl}
También podemos escribir el vector en términos de sus componentes cartesianas
    \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\jmath}_0&&\Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv CY_0\\
<center>
    && \\
<math>
    \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}    &&
\vec{r}(\alpha) \equiv
  \end{array}
\left\{
</math></center>
\begin{array}{l}
x = R\cos\alpha \\
\\
y = R\,\mathrm{sen}\,\alpha \\
\\
z=0
\end{array}
\right.
</math>
</center>


===Movimiento {21} ===
=== Derivada del vector respecto de <math>\alpha </math>===
Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la
Los vectores de la base cartesiana no cambian cuando el ángulo <math>\alpha </math> varía. Así pues, la derivada del vector <math>\vec{r}(\alpha) </math> es el vector
composición
<center>
<center><math>
<math>
  \{21\}=\{20\}+\{01\}
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} =
</math></center>
\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{\imath} +
La composición de velocidades angulares es
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{\jmath} +
<center><math>
\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\alpha}\,\vec{k} =
  \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}
-R\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\imath} + R\cos\alpha\,\vec{\jmath}
</math></center>
</math>
Usando los calculos realizados tenemos
</center>
<center><math>
En la figura se muestra la dirección de este vector. Como el módulo de <math>\vec{r}(\alpha)</math> es constante (e igual a <math>R</math>), el vector derivada apunta en la dirección y sentido en que se mueve el extremo del vector <math>\vec{r}(\alpha)</math>.
  \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\jmath}_0+\Omega\,\vec{k}_0
</math></center>
Para la aceleración angular usamos
<center><math>
  \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
</math></center>
El enunciado nos dice que tanto <math>|\vec{\omega}_{01}|</math> como <math>|\vec{\omega}_{20}|</math> son
constantes. Por tanto se cumple
<center><math>
    \vec{\alpha}_{01}=\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}
</math></center>
Calculando el producto vectorial resulta
<center><math>
  \vec{\alpha}_{21}=-\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0
</math></center>


Calculamos ahora <math>\vec{v}_{21}^P</math>.  Para ello usamos la composición de
===Derivada respecto al tiempo ===
movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades
Ahora el ángulo <math>\alpha </math> es una función del tiempo
<center><math>
<center>
  \begin{array}{ll}
<math>
    \vec{v}_{21}^P=&\vec{v}_{20}^P+\vec{v}_{01}^P\\
\alpha(t) = \omega t
    &\vec{v}_{20}^P=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}=(\omega\,\vec{\jmath}_0)\times(R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 \\
</math>
    &\vec{v}_{01}^P=\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}=
</center>
    (\Omega\,\vec{k}_0)\times(L\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 =L\Omega\,\vec{\jmath}_0
Aplicamos la regla de la cadena
  \end{array}
<center>
</math></center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} =
\left( \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} \right)
\left(\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} \right)
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \omega
</math>
</center>
Por tanto
Por tanto
<center><math>
<center>
  \vec{v}_{21}^P = R\omega\,\vec{\imath}_0 + L\Omega\,\vec{\jmath}_0
<math>
</math></center>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \omega\,\left( \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\alpha} \right)
 
=
Para calcular <math>\vec{a}_{21}^P</math> necesitamos determinar la aceleración en
-R\,\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath} + R\,\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}
un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los
</math>
puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula.Entonces
</center>
<center><math>
  \begin{array}{ccc}
    \vec{a}_{01}^{O}=\vec{0}&&\vec{a}_{20}^{C}=\vec{0}
  \end{array}
</math></center>
Ahora podemos calcular <math>\vec{a}_{21}^P</math> usando la composición  y
las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos
<center><math>
  \begin{array}{ll}
    \vec{a}_{21}^P =& \vec{a}_{20}^P+\vec{a}_{01}^P+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P\\
    &\vec{a}_{20}^P = \vec{a}_{20}^C
    +\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})=
    -R \omega^2\,\vec{k}_0\\
    &\vec{a}_{01}^P = \vec{a}_{01}^{O}
    +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})=
    -L \Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
    &2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P =
    2(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\omega\,\vec{\imath}_0)= 2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0
  \end{array}
</math></center>
Resulta
<center><math>
  \vec{a}_{21}^P=-L\Omega^2\,\vec{\imath}_0+2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0-R\omega^2\,\vec{k}_0
</math></center>
 
Para encontrar el eje <math>\Delta_{21}</math>, vamos a calcular <math>\vec{v}_{21}^O</math>,
para hacer más sencilla la descripción de la posición del
eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos
<center><math>
  \begin{array}{ll}
  \vec{v}_{21}^O =& \vec{v}_{21}^P+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} \\
  & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} =
  \left|
    \begin{array}{ccc}
      \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\
      0&\omega&\Omega\\
      -L&0&-R
    \end{array}
  \right|=
  -R\omega\,\vec{\imath}_0-L\Omega\,\vec{\jmath}_0+L\omega\,\vec{k}_0\\
  \vec{v}_{21}^O =& L\omega\vec{k}_0
  \end{array}
</math></center>
Podemos encontrar un punto de <math>\Delta_{21}</math> usando la expresión
<center><math>
  \overrightarrow{OC^*}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=
  \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0
</math></center>
La ecuación vectorial de <math>\Delta_{21}</math> es
<center><math>
  \Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC^*}+\lambda\vec{\omega}_{21}=
    \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 +\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)
</math></center>
Como <math>\omega^2/(\omega^2+\Omega^2)<1</math>, el punto <math>C^*</math> está sobre el
eje <math>OX_0</math> en un punto intermedio entre el punto <math>O</math> y el punto
<math>C</math>.  La figura muestra la posición aproximada del eje.
 
Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima
<center><math>
  v^{\text{mín}}=\dfrac{\vec{v}_{21}^P\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} =
  \dfrac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}} \neq 0
</math></center>
Como <math>\vec{\omega}_{21}\neq0</math> y <math>v^{\text{mín}}\neq0</math> el movimiento instantáneo
es helicoidal tangente.
[[Imagen:F1_GIA_avion_girando_ejes.png|right]]


===Aplicación numérica ===
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
Con los valores numéricos dados y usando las expresiones de la velocidad y aceleración pedidas obtenemos
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]
<center><math>
  \begin{array}{l}
    |\vec{v}_{21}^P| = \sqrt{R^2\omega^2+L^2\Omega^2} = 141 \,\mathrm{m/s}=509
    \,\mathrm{km/h}\\ \\
    |\vec{a}_{21}^P| = \sqrt{L^2\Omega^4+4R^2\omega^2\Omega^2+R^2\omega^4}
      =
      1.00\times10^4\,\mathrm{m/s^2}
  \end{array}
</math></center>
Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.
[[Categoría:Problemas de movimiento relativo]]

Revisión actual - 11:43 26 sep 2023

Enunciado

Un punto recorre una circunferencia de radio , de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo con el eje .

  1. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo .
  2. Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo .
  3. Si el ángulo depende del tiempo como , calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

Solución

Vector en función del ángulo

Proyectamos el vector de posición sobre los ejes y

También podemos escribir el vector en términos de sus componentes cartesianas

Derivada del vector respecto de

Los vectores de la base cartesiana no cambian cuando el ángulo varía. Así pues, la derivada del vector es el vector

En la figura se muestra la dirección de este vector. Como el módulo de es constante (e igual a ), el vector derivada apunta en la dirección y sentido en que se mueve el extremo del vector .

Derivada respecto al tiempo

Ahora el ángulo es una función del tiempo

Aplicamos la regla de la cadena

Tenemos

Por tanto

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