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Hélice de un avión que gira (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio L. La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es |\vec{\omega}_{01}|=\Omega. Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es R, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo |\vec{\omega}_{20}|=\omega. Se pide

  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando la composición de velocidades, la velocidad \vec{v}_{21}^P y aceleración \vec{a}_{21}^P del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
  3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
  4. Calcule numéricamente |\vec{v}_{21}^P| y |\vec{a}_{21}^P| para los valores R=1\,\mathrm{m}, L=100\,\mathrm{m}, \omega=100\,\mathrm{rad/s} y \Omega=1\,\mathrm{rad/s}.

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

2 Solución

2.1 Reducción cinemática de {01}

El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta OZ_1\equiv OZ_0. El punto O pertenece al eje de giro, por lo que \vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}. El enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es |\vec{\omega}_{01}|=\Omega. Según el giro que se indica en la figura apunta en el sentido positivo del eje Z0. Por tanto la reducción en el punto O es


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1&&\Delta_{\mathrm{EPR}}\equiv
    OZ_0\equiv OZ_1\\  &&\\\vec{v}_{01}^{O}=\vec{0}&&
  \end{array}

2.2 Reducción cinemática de {20}

Este movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues, el punto C pertenece al eje de giro, por lo que \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}. En el dibujo también se observa que el eje de giro es paralelo a OY0. Como el enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es |\vec{\omega}_{20}|=\omega, la reducción en el punto C es


  \begin{array}{lcl}
    \vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{\jmath}_0&&\Delta_{\mathrm{EIR}}\equiv CY_0\\
    && \\
    \vec{v}_{20}^{C}=\vec{0}    &&
  \end{array}

2.3 Movimiento {21}

Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la composición

{21} = {20} + {01}

La composición de velocidades angulares es


  \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}

Usando los calculos realizados tenemos


  \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\jmath}_0+\Omega\,\vec{k}_0

Para la aceleración angular usamos


  \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}

El enunciado nos dice que tanto |\vec{\omega}_{01}| como |\vec{\omega}_{20}| son constantes. Por tanto se cumple


    \vec{\alpha}_{01}=\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}

Calculando el producto vectorial resulta


  \vec{\alpha}_{21}=-\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0

Calculamos ahora \vec{v}_{21}^P. Para ello usamos la composición de movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades


  \begin{array}{ll}
    \vec{v}_{21}^P=&\vec{v}_{20}^P+\vec{v}_{01}^P\\
    &\vec{v}_{20}^P=\vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}=(\omega\,\vec{\jmath}_0)\times(R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 \\
    &\vec{v}_{01}^P=\vec{v}_{01}^{O}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP}=
    (\Omega\,\vec{k}_0)\times(L\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)=R\omega\,\vec{\imath}_0 =L\Omega\,\vec{\jmath}_0
  \end{array}

Por tanto


  \vec{v}_{21}^P = R\omega\,\vec{\imath}_0 + L\Omega\,\vec{\jmath}_0

Para calcular \vec{a}_{21}^P necesitamos determinar la aceleración en un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula.Entonces


  \begin{array}{ccc}
    \vec{a}_{01}^{O}=\vec{0}&&\vec{a}_{20}^{C}=\vec{0}
  \end{array}

Ahora podemos calcular \vec{a}_{21}^P usando la composición y las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos


  \begin{array}{ll}
    \vec{a}_{21}^P =& \vec{a}_{20}^P+\vec{a}_{01}^P+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P\\
    &\vec{a}_{20}^P = \vec{a}_{20}^C
    +\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})=
    -R \omega^2\,\vec{k}_0\\
    &\vec{a}_{01}^P = \vec{a}_{01}^{O}
    +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})=
    -L \Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
    &2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^P =
    2(\Omega\,\vec{k}_0)\times(R\omega\,\vec{\imath}_0)= 2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0
  \end{array}

Resulta


  \vec{a}_{21}^P=-L\Omega^2\,\vec{\imath}_0+2R\omega\Omega\,\vec{\jmath}_0-R\omega^2\,\vec{k}_0

Para encontrar el eje Δ21, vamos a calcular \vec{v}_{21}^O, para hacer más sencilla la descripción de la posición del eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos


  \begin{array}{ll}
  \vec{v}_{21}^O =& \vec{v}_{21}^P+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} \\
  & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PO} = 
  \left|
    \begin{array}{ccc}
      \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\
      0&\omega&\Omega\\
      -L&0&-R
    \end{array}
  \right|=
  -R\omega\,\vec{\imath}_0-L\Omega\,\vec{\jmath}_0+L\omega\,\vec{k}_0\\
  \vec{v}_{21}^O =& L\omega\vec{k}_0
  \end{array}

Podemos encontrar un punto de Δ21 usando la expresión


  \overrightarrow{OC^*}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=
  \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0

La ecuación vectorial de Δ21 es


  \Delta_{21}\equiv \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC^*}+\lambda\vec{\omega}_{21}=
    \dfrac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\,\vec{\imath}_0 +\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)

Como ω2 / (ω2 + Ω2) < 1, el punto C * está sobre el eje OX0 en un punto intermedio entre el punto O y el punto C. La figura muestra la posición aproximada del eje.

Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima


  v^{\text{mín}}=\dfrac{\vec{v}_{21}^P\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = 
  \dfrac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}} \neq 0

Como \vec{\omega}_{21}\neq0 y v^{\text{mín}}\neq0 el movimiento instantáneo es helicoidal tangente.

2.4 Aplicación numérica

Con los valores numéricos dados y usando las expresiones de la velocidad y aceleración pedidas obtenemos


  \begin{array}{l}
    |\vec{v}_{21}^P| = \sqrt{R^2\omega^2+L^2\Omega^2} = 141 \,\mathrm{m/s}=509
    \,\mathrm{km/h}\\ \\
    |\vec{a}_{21}^P| = \sqrt{L^2\Omega^4+4R^2\omega^2\Omega^2+R^2\omega^4}
      = 
      1.00\times10^4\,\mathrm{m/s^2}
  \end{array}

Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.

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