Enunciado

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro de su hélice describe una circunferencia de radio . La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es . Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es , gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo . Se pide

  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando la composición de velocidades, la velocidad y aceleración del punto más alto de la hélice (punto en la figura).
  3. La reducción cinemática del movimiento {21} en y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
  4. Calcule numéricamente y para los valores , , y .

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

Solución

Reducción cinemática de {01}

El movimiento {01} es un rotación permanente cuyo eje es la recta . El punto pertenece al eje de giro, por lo que . El enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es . Según el giro que se indica en la figura apunta en el sentido positivo del eje . Por tanto la reducción en el punto es

Reducción cinemática de {20}

Este movimiento es un rotación instantánea alrededor de la línea que pasa por el centro de la hélice y es perpendicular a ella. Así pues, el punto pertenece al eje de giro, por lo que . En el dibujo también se observa que el eje de giro es paralelo a . Como el enunciado dice que el módulo de la velocidad angular es , la reducción en el punto es

Movimiento {21}

Para encontrar las magnitudes que nos pide el problema vamos a usar la composición

La composición de velocidades angulares es

Usando los calculos realizados tenemos

Para la aceleración angular usamos

El enunciado nos dice que tanto como son constantes. Por tanto se cumple

Calculando el producto vectorial resulta

Calculamos ahora . Para ello usamos la composición de movimientos y, dentro de cada movimiento, la ecuación del campo de velocidades

Por tanto

Para calcular necesitamos determinar la aceleración en un punto de los movimientos {01} y {20}. En ambos casos, los puntos de los ejes de rotación respectivos tienen aceleración nula.Entonces

Ahora podemos calcular usando la composición y las ecuaciones del campo de velocidades de los correspondientes sólidos

Resulta

Para encontrar el eje , vamos a calcular , para hacer más sencilla la descripción de la posición del eje. Utilizando la ecuación del campo de velocidades de {21} tenemos

Podemos encontrar un punto de usando la expresión

La ecuación vectorial de es

Como , el punto está sobre el eje en un punto intermedio entre el punto y el punto . La figura muestra la posición aproximada del eje.

Para determinar el tipo de movimiento calculamos la velocidad mínima

Como y el movimiento instantáneo es helicoidal tangente.

Aplicación numérica

Con los valores numéricos dados y usando las expresiones de la velocidad y aceleración pedidas obtenemos

Damos los valores numéricos con 3 cifras significativas.