Partícula en plano inclinado con dos muelles (Ene. 2018 G.I.C.)

Enunciado

Una partícula P, de masa $m\,$ y no vinculada, se mueve con respecto a un sistema de referencia OXYZ conforme a la ecuación horaria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=b\,[\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {2}}\,\mathrm {sen} (\omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]$

donde $b\,$ y $\omega \,$ son constantes conocidas.

1. ¿Qué fuerza neta ${\vec {F}}$ actúa sobre la partícula?
2. ¿Cuánto vale el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas?
3. ¿Cuál es el valor del trabajo neto realizado sobre la partícula entre $\,t=0\,\,$ y $\,t=\pi /(4\omega )\,$?

Fuerza neta

Derivando el vector de posición de la partícula P respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos su velocidad y su aceleración, respectivamente:

${\vec {v}}=\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}=\omega b\,[-\mathrm {sen} (\omega t)\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {2}}\,\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=\displaystyle {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-\omega ^{2}b\,[\mathrm {cos} (\omega t)\,{\vec {\imath }}+{\sqrt {2}}\,\mathrm {sen} (\omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]=-\omega ^{2}{\vec {r}}$

Y conforme a la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre la partícula P es:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}=-m\omega ^{2}{\overrightarrow {OP}}=m\omega ^{2}{\overrightarrow {PO}}$

Observamos que la recta de acción de la fuerza neta sobre P pasa en todo instante por el origen de coordenadas O. Se trata, pues, de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O).

Momento cinético

El momento cinético de la partícula P respecto al origen de coordenadas O se calcula a partir de su definición:

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\wedge m{\vec {v}}=m\omega b^{2}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\mathrm {cos} (\omega t)&{\sqrt {2}}\,\mathrm {sen} (\omega t)&0\\-\mathrm {sen} (\omega t)&{\sqrt {2}}\,\mathrm {cos} (\omega t)&0\end{array}}\right|={\sqrt {2}}\,m\omega b^{2}\,{\vec {k}}$

Al tratarse de un movimiento bajo fuerza central (con centro en O), se obtiene que el momento cinético (respecto a O) es constante a lo largo del tiempo (es una integral primera del movimiento).

Trabajo

Calculamos el trabajo que nos piden mediante el teorema de las fuerzas vivas:

$\,\,\,\,\,W_{0}^{\pi /4\,\omega }=K\left({\frac {\pi }{4\,\omega }}\right)-K(0)={\frac {1}{2}}m\,\left[v^{2}\left(\displaystyle {\frac {\pi }{4\,\omega }}\right)-v^{2}(0)\right]=$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}b^{2}\left[\mathrm {sen} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)+2\,\mathrm {cos} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\mathrm {sen} ^{2}\left(0\right)-2\,\mathrm {cos} ^{2}\left(0\right)\right]=-{\frac {1}{4}}m\omega ^{2}b^{2}$