No Boletín - Otro tiro parabólico II (proyectil y ave) (Ex.Nov/16)

Enunciado

Un proyectil se mueve en el plano vertical $OXZ\,$. Se sabe que tiene una aceleración constante (de módulo $g\,$) debida a la gravedad, y que su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial $v_{0}\,$ y con un ángulo $\theta _{0}\,$ sobre el eje horizontal $OX\,$ (siendo $\pi /4<\theta _{0}<\pi /2\,$):

${\vec {a}}(t)=-g{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}(0)={\vec {0}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)=v_{0}[\mathrm {cos} (\theta _{0}){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta _{0}){\vec {k}}\,]$

1. ¿En qué instante $t=t^{*}\,$ tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal del proyectil $[a_{t}(t^{*})=a_{n}(t^{*})]\,$?
2. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante definido en la pregunta anterior?

Instante en el que tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal

La definición de aceleración instantánea establece que:

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$

En el caso que nos ocupa, conocemos el valor inicial de la velocidad ${\vec {v}}\,(0)\,$ del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:

${\vec {a}}(t)=-g{\vec {k}}={\vec {a}}\,\,\mathrm {(cte)}$

Determinar la velocidad del proyectil para $t>0\,$ se reduce a integrar la aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:

${\begin{array}{lllll}\mathrm {d} {\vec {v}}={\vec {a}}\,\mathrm {d} t&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&\displaystyle \int _{{\vec {v}}(0)}^{{\vec {v}}(t)}\!\mathrm {d} {\vec {v}}={\vec {a}}\displaystyle \int _{0}^{\,t}\mathrm {d} t&\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}\,t\end{array}}$

Sustituyendo los valores dados de ${\vec {v}}(0)\,$ y ${\vec {a}}\,$, obtenemos:

${\vec {v}}(t)=v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta _{0})\,{\vec {\imath }}\,\,+\,\left[v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta _{0})-g\;\!t\,\right]{\vec {k}}$

Efectuamos el producto escalar y el producto vectorial de ${\vec {v}}(t)\,$ y ${\vec {a}}(t)\,$ porque sabemos que dichos productos están presentes en las fórmulas de las componentes intrínsecas de la aceleración:

${\vec {v}}(t)\cdot {\vec {a}}(t)=g\left[g\;\!t-v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta _{0})\,\right]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(t)\times {\vec {a}}(t)=g\;\!v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta _{0})\,{\vec {\jmath }}$

A continuación, igualamos la fórmulas de las aceleraciones tangencial y normal del proyectil para determinar el instante $t=t^{*}\,$ en el que ambas componentes intrínsecas tienen valores iguales:

$a_{t}(t^{*})=a_{n}(t^{*})\,\,\,\rightarrow \,\,\,{\frac {{\vec {v}}(t^{*})\cdot {\vec {a}}(t^{*})}{|{\vec {v}}(t^{*})|}}={\frac {|{\vec {v}}(t^{*})\times {\vec {a}}(t^{*})|}{|{\vec {v}}(t^{*})|}}\,\,\,\rightarrow \,\,\,g\left[g\;\!t^{*}-v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta _{0})\,\right]=g\;\!v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta _{0})\,\,\,\rightarrow$

$\rightarrow \,\,\,t^{*}=\displaystyle {\frac {v_{0}}{g}}\,[\;\!\mathrm {sen} (\theta _{0})\,+\,\mathrm {cos} (\theta _{0})\;\!]$

Radio de curvatura de la trayectoria en el instante propuesto

Evaluamos la velocidad y la celeridad del proyectil en el instante $t=t^{*}\,$:

${\vec {v}}(t^{*})=v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta _{0})\,{\vec {\imath }}\,\,+\,\left[v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta _{0})-g\;\!t^{*}\,\right]{\vec {k}}=v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta _{0})\,({\vec {\imath }}-{\vec {k}})\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,|{\vec {v}}(t^{*})|={\sqrt {2}}\,v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta _{0})$

El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante $t=t^{*}\,$ puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:

$R_{\kappa }(t^{*})={\frac {|{\vec {v}}(t^{*})|^{3}}{|{\vec {v}}(t^{*})\times {\vec {a}}(t^{*})|}}$

Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores previamente determinados, se obtiene:

$R_{\kappa }(t^{*})={\frac {2{\sqrt {2}}\,v_{0}^{3}\,\mathrm {cos} ^{3}(\theta _{0})}{g\;\!v_{0}\,\mathrm {cos} (\theta _{0})}}={\frac {2{\sqrt {2}}\,v_{0}^{2}}{g}}\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta _{0})$