Diferencia entre las páginas «Archivo:F1GIERM-dos-masas-muelle-rozamiento-enunciado.png» y «Partículas en colisión, Noviembre 2018 (G.I.E.R.M.)»
Sin resumen de edición |
(Página creada con «= Enunciado = right|250px Una partícula de masa <math>m_1</math> se lanza desde una altura <math>h</math> con velocidad horizontal <math>\vec{v}_0=v_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>v_0>0</math>. La partícula se mueve bajo la acción de la gravedad. Se desprecia el rozamiento del aire. Al mismo tiempo, otra partícula de masa <math>m_2</math> parte desde el origen con velocidad inicial <math>(v_0/2)\,\vec{\imath…») |
||
Línea 1: | Línea 1: | ||
= Enunciado = | |||
[[Archivo:F1GIERM-particulas-colision-enunciado.png|right|250px]] | |||
Una partícula de masa <math>m_1</math> se lanza desde una altura <math>h</math> con velocidad | |||
horizontal <math>\vec{v}_0=v_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>v_0>0</math>. La partícula se mueve | |||
bajo la acción de la gravedad. Se desprecia el rozamiento del aire. Al mismo | |||
tiempo, otra partícula de masa <math>m_2</math> parte desde el origen con velocidad inicial | |||
<math>(v_0/2)\,\vec{\imath}</math>. Esta partícula se mueve sobre el eje <math>OX</math> con aceleración <math>\vec{a}_2 = 6At\,\vec{\imath}</math>. | |||
# Escribe los vectores de posición de las dos partículas en función del tiempo. | |||
# ¿Cuál debe ser el valor de <math>v_0</math> para que las partículas colisionen en el eje <math>OX</math>? | |||
#Suponiendo que <math>A=\sqrt{g^3/8h}</math>, calcula el vector tangente de la trayectoria seguida por la partícula 1 en el instante de la colisión. | |||
= Solución = | |||
== Movimientos de las partículas == | |||
La partícula realiza un movimiento parabólico. El movimiento es uniforme sobre el eje <math>OX</math> y uniformemente acelerado sobre el eje <math>OY</math>. El movimiento sobre el eje <math>OX</math> es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\left. | |||
\begin{array}{l} | |||
x_1(0) = 0\\ | |||
\dot{x}_1(t) = v_0 | |||
\end{array} | |||
\right\} | |||
\Longrightarrow | |||
x(t) = v_0t | |||
</math> | |||
</center> | |||
El movimiento sobre el eje <math>OY</math> es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\left. | |||
\begin{array}{l} | |||
y_1(0) = h\\ | |||
\dot{y}_1(0) = 0\\ | |||
\ddot{y}_1(t) = -g | |||
\end{array} | |||
\right\} | |||
\Longrightarrow | |||
\left\{ | |||
\begin{array}{l} | |||
\dot{y}_1(t) = -gt\\ | |||
y_1(t) = h-gt^2/2 | |||
\end{array} | |||
\right. | |||
</math> | |||
</center> | |||
Entonces los vectores de posición y velocidad de la partícula 1 es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{v}_1(t) = v_0\,\vec{\imath} -gt\,\vec{\jmath}\\ | |||
\\ | |||
\vec{r}_1(t) = v_0t\,\vec{\imath} + (h-gt^2/2)\,\vec{\jmath} | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
</center> | |||
La partícula 2 realiza un movimiento rectilíneo en el que la aceleración es una función del tiempo. Tenemos que resolver la ecuación diferencial. La aceleración de la partícula 2 sobre el eje <math>OX</math> es | |||
<center> | |||
<math> | |||
a_2 = \dfrac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} = 6At | |||
\Longrightarrow | |||
\mathrm{d}v_2 = 6At\,\mathrm{d}t. | |||
</math> | |||
</center> | |||
Podemos integrar esta expresión | |||
<center> | |||
<math> | |||
\int \mathrm{d}v_2 = \int 6At\mathrm{d}t | |||
\Longrightarrow | |||
v_2(t) = 3At^2 + C. | |||
</math> | |||
</center> | |||
La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la velocidad de la partícula 2 | |||
<center> | |||
<math> | |||
\left. | |||
\begin{array}{l} | |||
v_2(0) = \dfrac{1}{2}v_0\\ | |||
v_2(0) = C | |||
\end{array} | |||
\right\} | |||
\Longrightarrow | |||
C=\dfrac{1}{2}v_0. | |||
</math> | |||
</center> | |||
Por tanto, la velocidad de la partícula 2 es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{v}_2(t) = \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\vec{\imath}. | |||
</math> | |||
</center> | |||
Procedemos de manera similar para encontrar <math>x_2(t)</math> | |||
<center> | |||
<math> | |||
v_2 = \dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2 | |||
\Longrightarrow | |||
\mathrm{d}x_2 = \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\mathrm{d}t | |||
</math> | |||
</center> | |||
Podemos integrar esta expresión | |||
<center> | |||
<math> | |||
\int \mathrm{d}x_2 = \int \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\mathrm{d}t | |||
\Longrightarrow | |||
x_2(t) = \dfrac{1}{2}v_0t + At^3 + C | |||
</math> | |||
</center> | |||
La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la posición de la partícula 2 | |||
<center> | |||
<math> | |||
\left. | |||
\begin{array}{l} | |||
x_2(0) = 0\\ | |||
v_2(0) = C | |||
\end{array} | |||
\right\} | |||
\Longrightarrow | |||
C=0. | |||
</math> | |||
</center> | |||
Por tanto, el vector de posición de la partícula 2 es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{r}_2(t) = \left(\dfrac{1}{2}v_0t + At^3\right)\,\vec{\imath}. | |||
</math> | |||
</center> | |||
== Colisión de las partículas == | |||
Para que las partículas colisionen sus dos vectores de posición tienen que ser iguales | |||
en el instante de la colisión, <math>t=t_c</math> | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{r}_1(t_c) = \vec{r}_2(t_c) | |||
\Longrightarrow | |||
\left\{ | |||
\begin{array}{lr} | |||
v_0t_c = \dfrac{1}{2}v_0t_c + At_c^3, & (1)\\ | |||
\\ | |||
h-\dfrac{1}{2}gt_c^2 = 0 & (2). | |||
\end{array} | |||
\right. | |||
</math> | |||
</center> | |||
A partir de la ecuación (2) obtenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
t_c^2 = 2h/g. | |||
</math> | |||
</center> | |||
En la ecuación (1) podemos eliminar una <math>t_c</math> en todos los sumandos. Despejando el valor de <math>v_0</math> tenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
v_0 = 2At_c^2 = \dfrac{4Ah}{g}. | |||
</math> | |||
</center> | |||
== Vector tangente de la partícula 1 en el instante de la colisión == | |||
El vector velocidad de la partícula 1 cuando colisionan, <math>\vec{v}_c=\vec{v}(t_c)</math>, es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{v}_c = v_0\,\vec{\imath} -gt_c\,\vec{\jmath}. | |||
</math> | |||
</center> | |||
Sustituyendo los valores de <math>v_0</math> y <math>t_c</math> calculados en la pregunta anterior, y aplicando la condición <math>A=\sqrt{g^3/8h}</math> tenemos | |||
<center> | |||
<math> | |||
\begin{array}{l} | |||
v_0 = \dfrac{4h}{g}\sqrt{\dfrac{g^3}{8h}} | |||
= | |||
\sqrt{\dfrac{16h^2}{g^2}\dfrac{g^3}{8h}} = \sqrt{2gh},\\ | |||
\\ | |||
gt_c = g\sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}. | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Por tanto la velocidad en ese instante, así como su módulo son | |||
<center> | |||
<math> | |||
\begin{array}{l} | |||
\vec{v}_c = \sqrt{2gh}\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath})\\ | |||
\\ | |||
|\vec{v}_c| = 2\sqrt{gh}. | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
</center> | |||
Por lo que el vector tangente en ese instante es | |||
<center> | |||
<math> | |||
\vec{T}_c = \dfrac{\vec{v}_c}{|\vec{v}_c|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}) | |||
</math> | |||
</center> | |||
Otra forma de ver que, de todas las opciones que se daban para responder, esta es la única con la dirección correcta teniendo en cuenta la trayectoria de la partícula 1. El vector tangente tiene que apuntar hacia la derecha y hacia abajo. | |||
[[Categoría:Cinemática del punto material|1]] | |||
[[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]] | |||
[[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]] |
Revisión actual - 14:36 31 oct 2023
Enunciado
Una partícula de masa se lanza desde una altura con velocidad horizontal , con . La partícula se mueve bajo la acción de la gravedad. Se desprecia el rozamiento del aire. Al mismo tiempo, otra partícula de masa parte desde el origen con velocidad inicial . Esta partícula se mueve sobre el eje con aceleración .
- Escribe los vectores de posición de las dos partículas en función del tiempo.
- ¿Cuál debe ser el valor de para que las partículas colisionen en el eje ?
- Suponiendo que , calcula el vector tangente de la trayectoria seguida por la partícula 1 en el instante de la colisión.
Solución
Movimientos de las partículas
La partícula realiza un movimiento parabólico. El movimiento es uniforme sobre el eje y uniformemente acelerado sobre el eje . El movimiento sobre el eje es
El movimiento sobre el eje es
Entonces los vectores de posición y velocidad de la partícula 1 es
La partícula 2 realiza un movimiento rectilíneo en el que la aceleración es una función del tiempo. Tenemos que resolver la ecuación diferencial. La aceleración de la partícula 2 sobre el eje es
Podemos integrar esta expresión
La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la velocidad de la partícula 2
Por tanto, la velocidad de la partícula 2 es
Procedemos de manera similar para encontrar
Podemos integrar esta expresión
La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la posición de la partícula 2
Por tanto, el vector de posición de la partícula 2 es
Colisión de las partículas
Para que las partículas colisionen sus dos vectores de posición tienen que ser iguales en el instante de la colisión,
A partir de la ecuación (2) obtenemos
En la ecuación (1) podemos eliminar una en todos los sumandos. Despejando el valor de tenemos
Vector tangente de la partícula 1 en el instante de la colisión
El vector velocidad de la partícula 1 cuando colisionan, , es
Sustituyendo los valores de y calculados en la pregunta anterior, y aplicando la condición tenemos
Por tanto la velocidad en ese instante, así como su módulo son
Por lo que el vector tangente en ese instante es
Otra forma de ver que, de todas las opciones que se daban para responder, esta es la única con la dirección correcta teniendo en cuenta la trayectoria de la partícula 1. El vector tangente tiene que apuntar hacia la derecha y hacia abajo.
Historial del archivo
Haz clic sobre una fecha y hora para ver el archivo tal como apareció en ese momento.
Fecha y hora | Miniatura | Dimensiones | Usuario | Comentario | |
---|---|---|---|---|---|
actual | 14:36 31 oct 2023 | 201 × 138 (7 kB) | Pedro (discusión | contribs.) |
No puedes sobrescribir este archivo.
Usos del archivo
Las siguientes páginas usan este archivo: