(Página creada con «= Enunciado = right|250px Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto <math>A</math> y se…»)
 
(Sin diferencias)

Revisión actual - 13:28 31 oct 2023

Enunciado

Una partícula de masa está engarzada en un aro de radio . El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto . En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto y se le comunica una velocidad vertical de módulo .

  1. Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
  2. Calcula el momento cinético de la partícula cuando .
  3. ¿Cuál es el valor mínimo de para que la partícula llegue hasta el punto ?

Nota: La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión , siendo su longitud.

Solución

Análisis previo

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo de su movimiento.

Expresión de la energía mecánica

La energía cinética es

donde es la rapidez de la partícula.

La energía potencial gravitatoria puede escribirse

Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura .

La energía potencial elástica es

La energía mecánica es

En el instante inicial tenemos y . Entonces

Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple

Momento cinético

El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es

Cuando tenemos

Para el módulo de la velocidad en este instante, , tenemos, de la conservación de energía mecánica

Por tanto

Del dibujo vemos que el vector velocidad es

Aquí, viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.

El momento cinético pedido es

Velocidad mínima

Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando se cumple

La rapidez en el punto es

Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es