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Partícula engarzada en un hilo circular con un muelle, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m está engarzada en un aro de radio R. El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto A. En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto A y se le comunica una velocidad vertical de módulo v0.

  1. Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
  2. Calcula el momento cinético de la partícula cuando θ = π / 4.
  3. ¿Cuál es el valor mínimo de v0 para que la partícula llegue hasta el punto B?

Nota: La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión Uk = kl2 / 2, siendo l su longitud.

2 Solución

2.1 Análisis previo

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo de su movimiento.

2.2 Expresión de la energía mecánica

La energía cinética es


T = \dfrac{1}{2}mv^2,

donde v es la rapidez de la partícula.

La energía potencial gravitatoria puede escribirse


U_g = mgy = mgR\,\mathrm{sen}\theta.

Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura y = 0.

La energía potencial elástica es


U_k = \dfrac{1}{2}kl^2 = \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.

La energía mecánica es


E = T + U_g + U_k = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta +  \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.

En el instante inicial tenemos v = v0 y θ = 0. Entonces


E(0) = \dfrac{1}{2}mv_0^2

Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple


\dfrac{1}{2}mv_0^2
=
\dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta +  \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.

2.3 Momento cinético

El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es


\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v})

Cuando θ = π / 4 tenemos


\overrightarrow{OP} = R\cos(\pi/4)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath} =
\dfrac{R}{\sqrt{2}}\,\left(\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right)

Para el módulo de la velocidad en este instante, v1, tenemos, de la conservación de energía mecánica


\dfrac{1}{2}mv_0^2
=
\dfrac{1}{2}mv_1^2 + \dfrac{mgR}{\sqrt{2}} +  \dfrac{\pi^2}{32}kR^2.

Por tanto


v_1 = \sqrt{v_0^2 - \sqrt{2}gR - \dfrac{\pi^2}{16}kR^2}

Del dibujo vemos que el vector velocidad es


\vec{v}_1 = v_1 (-\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\imath} + \cos(\pi/4)\,\vec{\jmath}
=
\dfrac{v_1}{\sqrt{2}}\,\left(-\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right).

Aquí, v1 viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.

El momento cinético pedido es


\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v}_1) = mRv_1\,\vec{k}.

2.4 Velocidad mínima

Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando θ = π / 2 se cumple


\dfrac{1}{2}mv_0^2
=
\dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgR+  \dfrac{\pi^2}{8}kR^2.

La rapidez en el punto B es


v_B = \sqrt{v_0^2 - mgR - \dfrac{\pi^2}{8}kR^2}

Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es


v_0\geq
\sqrt{mgR + \dfrac{\pi^2}{8}kR^2}

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