Diferencia entre las páginas «Cálculo de una aceleración (Ex.Dic/11)» y «No Boletín - Campo de aceleraciones de una traslación instantánea (Ex.Ene/15)»

Revisión actual - 21:13 11 ene 2024

Enunciado

¿Cómo es necesariamente el campo de aceleraciones de un sólido rígido que está realizando una traslación instantánea?

(NOTA: sólo una de las cuatro opciones es correcta)

\mathrm {(a)} \,\,\,\,\mathrm {Equiproyectivo} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,\,\mathrm {Uniforme} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,\,\mathrm {No} \,\,\mathrm {uniforme} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,\,\mathrm {Nulo}

Solución

Si $P\,$ y $Q\,$ son dos puntos cualesquiera de un sólido rígido, la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido establece que:

{\vec {a}}_{P}={\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}})

donde ${\vec {a}}_{P}\,$ y ${\vec {a}}_{Q}\,$ son las aceleraciones de $P\,$ y $Q\,$ ; y ${\vec {\omega }}\,$ y ${\vec {\alpha }}\,$ son, respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del sólido.

Que el sólido esté realizando una traslación instantánea implica que ${\vec {\omega }}\,$ tiene valor nulo en ese instante. Sin embargo, estar en traslación instantánea no implica nada sobre el valor de ${\vec {\alpha }}\,$ (derivada temporal de ${\vec {\omega }}\,$ ), ya que la nulidad de ${\vec {\omega }}\,$ en un instante concreto no implica nada sobre su variación en el tiempo.

Reescribiendo la ecuación del campo de aceleraciones del sólido para ese instante de velocidad angular nula, se obtiene:

\mathrm {traslac.} \,\,\mathrm {instant.} \,\,\,\Rightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{P}={\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}

Y multiplicando escalarmente la ecuación obtenida por el vector ${\overrightarrow {QP}}$ , se llega a:

{\vec {a}}_{P}\cdot {\overrightarrow {QP}}={\vec {a}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {QP}}+\underbrace {({\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}})\cdot {\overrightarrow {QP}}} _{=0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{P}\cdot {\overrightarrow {QP}}={\vec {a}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {QP}}

que es precisamente la condición de equiproyectividad de un campo vectorial. Por tanto, la respuesta correcta a la presente cuestión es la (a): "El campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea es necesariamente equiproyectivo".

Comprobamos a continuación que las otras tres respuestas son incorrectas por culpa del adverbio "necesariamente". El campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser uniforme ( ${\vec {a}}_{P}={\vec {a}}_{Q}\,$ ), pero ello exige que también ${\vec {\alpha }}\,$ sea nula. Así ocurre, por ejemplo, si la traslación instantánea forma parte de una traslación permanente ( ${\vec {\omega }}\,$ es nula de forma constante y, por tanto, su derivada temporal ${\vec {\alpha }}\,$ también es nula). Y el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea es no uniforme ( ${\vec {a}}_{P}\neq {\vec {a}}_{Q}\,$ ) en caso contrario, es decir, si ${\vec {\alpha }}\,$ es no nula. Así pues, vemos que el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser uniforme y puede ser no uniforme, pero no es necesariamente ni una cosa ni otra. Y algo análogo ocurre con la cuestión de la nulidad: el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser nulo (por ejemplo, si la traslación instantánea forma parte de una traslación permanente en la que todos los puntos del sólido realizan movimientos rectilíneos y uniformes), pero no es necesariamente nulo.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 ==Enunciado==
-Un sólido se mueve respecto a un sistema de referencia fijo de forma que en todo instante la velocidad de la partícula del sólido que se encuentra en el origen del sistema de referencia (<math>O(0,0,0)\,</math>) vale <math>\vec{v}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,</math>, siendo la velocidad angular del sólido constante e igual a <math>\vec{\omega}=-2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k}\,</math> (todas las unidades en el SI).
+¿Cómo es necesariamente el campo de aceleraciones de un sólido rígido que está realizando una traslación instantánea?
-# ¿Qué tipo de movimiento realiza el sólido?
+('''NOTA''': sólo una de las cuatro opciones es correcta)
-# ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula del sólido situada en el origen <math>O\,</math>?
-==Tipo de movimiento==
-Calculamos el segundo invariante (velocidad de deslizamiento <math>v_d\,</math>), que es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:
 <center><math>
-v_d=\frac{\vec{v}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\cdot(-2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k}\,)}{|-2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k}\,|}=0
+\mathrm{(a)}\,\,\,\,\mathrm{Equiproyectivo}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
+\mathrm{(b)}\,\,\,\,\mathrm{Uniforme}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
+\mathrm{(c)}\,\,\,\,\mathrm{No}\,\,\mathrm{uniforme}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
+\mathrm{(d)}\,\,\,\,\mathrm{Nulo}
 </math></center>
-Observamos que se trata de un movimiento que tiene primer invariante (velocidad angular) no nulo y segundo invariante (velocidad de deslizamiento) nulo. Estamos, pues, ante una rotación pura en cada instante.
-Podemos calcular además un punto <math>I^{*}\,</math> del eje instantáneo de rotación mediante la fórmula:
+==Solución==
+Si <math>P\,</math> y <math>Q\,</math> son dos puntos cualesquiera de un sólido rígido, la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido establece que:
 <center><math>
-\overrightarrow{OI^{*}}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_O}{|\vec{\omega}\,|^{\, 2}}=\frac{(-2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k}\,)\times(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)}{|\! -2\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-\vec{k}\,|^{\, 2}}=\frac{1}{9}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|=\frac{1}{9}(\vec{\imath}-\vec{\jmath}-4\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m}
+\vec{a}_P=\vec{a}_Q+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP})
 </math></center>
-Dado que por este punto <math>I^{*}(1/9,-1/9,-4/9)\,\,\mathrm{m}</math> va a pasar siempre el eje instantáneo de rotación y, además, la dirección de dicho eje es constante (porque el vector velocidad angular es constante), podemos afirmar que el movimiento es en realidad una rotación pura de eje permanente.
+donde <math>\vec{a}_P\,</math> y <math>\vec{a}_Q\,</math> son las aceleraciones de <math>P\,</math> y <math>Q\,</math>; y <math>\vec{\omega}\,</math> y <math>\vec{\alpha}\,</math> son, respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del sólido.
-==Aceleración instantánea de la partícula del sólido situada en el origen O==
+Que el sólido esté realizando una traslación instantánea implica que <math>\vec{\omega}\,</math> tiene valor nulo en ese instante. Sin embargo, estar en traslación instantánea no implica nada sobre el valor de <math>\vec{\alpha}\,</math> (derivada temporal de <math>\vec{\omega}\,</math>), ya que la nulidad de <math>\vec{\omega}\,</math> en un instante concreto no implica nada sobre su variación en el tiempo.
-El campo de aceleraciones tiene la expresión general:
-<center><math>\vec{a}_O = \vec{a}_{I^{*}} + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{I^{*}O}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{I^{*}O}\,)=\vec{a}_{I^{*}} + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{I^{*}O}+\vec{\omega}\times(\vec{v}_O-\vec{v}_{I^{*}})</math></center>
-En este caso, la velocidad y la aceleración de <math>I^{*}\,</math> son nulas por estar este punto permanentemente en reposo (pertenece al eje permanente de rotación), mientras que la aceleración angular también es nula por ser la velocidad angular constante:
-<center><math>\vec{v}_{I^{*}}=\vec{0}\,\,\,</math>;{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}_{I^{*}} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}_{I^{*}}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}\,\,\,</math>;{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}</math></center>
-Sustituyendo:
+Reescribiendo la ecuación del campo de aceleraciones del sólido para ese instante de velocidad angular nula, se obtiene:
+<center><math>
+\mathrm{traslac.}\,\,\mathrm{instant.}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\vec{\omega}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}_P=\vec{a}_Q+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}
+</math></center>
+Y multiplicando escalarmente la ecuación obtenida por el vector <math>\overrightarrow{QP}</math>, se llega a:
 <center><math>
-\vec{a}_O = \vec{\omega}\times\vec{v}_O = \left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right| = (\vec{\imath}-\vec{\jmath}-4\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m/s}^2</math></center>
+\vec{a}_P\cdot\overrightarrow{QP}=\vec{a}_Q\cdot\overrightarrow{QP}+\underbrace{(\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP})\cdot\overrightarrow{QP}}_{=0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}_P\cdot\overrightarrow{QP}=\vec{a}_Q\cdot\overrightarrow{QP}
+</math></center>
-Puede comprobarse de manera inmediata que:
+que es precisamente la condición de equiproyectividad de un campo vectorial. Por tanto, la respuesta correcta a la presente cuestión es la (a): "El campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea es necesariamente equiproyectivo".
-<center><math>\vec{a}_O\neq \frac{\mathrm{d}\vec{v}_{O}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)}{\mathrm{d}t}=0</math></center>
-¿Por qué pasa esto a pesar de que sabemos que la aceleración de una partícula es la derivada de su velocidad respecto al tiempo? La razón es que, cuando el enunciado dice que ''en todo instante la velocidad de la partícula del sólido que se encuentra en el origen del sistema de referencia vale <math>\vec{v}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,</math>'', en realidad está hablando de ''una partícula diferente en cada instante de tiempo''. Cuando damos la velocidad del punto O en un instante dado, estamos dando la velocidad de la partícula material que ''en ese momento ocupa el punto O''. Pero esa partícula se está moviendo, por lo que un instante después se habrá desplazado a otro sitio, y ''otra partícula habrá ocupado su lugar''. Por tanto, si derivamos respecto al tiempo la <math>\vec{v}_O\,</math> que se nos ha dado en el enunciado:
-<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{v}_O}{\mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{v}_O(t+\Delta t)-\vec{v}_O(t)}{\Delta t}</math></center>
-estamos restando las velocidades de partículas materiales diferentes (la que se halla en O en <math>t+\Delta t</math> y la que se halla en O en el instante <math>t</math>), y por tanto el resultado no tiene por qué coincidir con la aceleración de ninguna de ellas.
-El cálculo según la expresión del campo de aceleraciones, en cambio, sí nos da el valor correcto de la aceleración de la partícula que se halla en O en el instante <math>t</math>.
+Comprobamos a continuación que las otras tres respuestas son incorrectas por culpa del adverbio "necesariamente". El campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser uniforme (<math>\vec{a}_P=\vec{a}_Q\,</math>), pero ello exige que también <math>\vec{\alpha}\,</math> sea nula. Así ocurre, por ejemplo, si la traslación instantánea forma parte de una traslación permanente (<math>\vec{\omega}\,</math> es nula de forma constante y, por tanto, su derivada temporal <math>\vec{\alpha}\,</math> también es nula). Y el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea es no uniforme (<math>\vec{a}_P\neq\vec{a}_Q\,</math>) en caso contrario, es decir, si <math>\vec{\alpha}\,</math> es no nula. Así pues, vemos que el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser uniforme y puede ser no uniforme, pero no es necesariamente ni una cosa ni otra. Y algo análogo ocurre con la cuestión de la nulidad: el campo de aceleraciones de un sólido rígido en traslación instantánea puede ser nulo (por ejemplo, si la traslación instantánea forma parte de una traslación permanente en la que todos los puntos del sólido realizan movimientos rectilíneos y uniformes), pero no es necesariamente nulo.
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