Cálculo de una aceleración (Ex.Dic/11)

Enunciado

Un sólido se mueve respecto a un sistema de referencia fijo de forma que en todo instante la velocidad de la partícula del sólido que se encuentra en el origen del sistema de referencia ($O(0,0,0)\,$) vale ${\vec {v}}_{O}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,$, siendo la velocidad angular del sólido constante e igual a ${\vec {\omega }}=-2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,$ (todas las unidades en el SI).

1. ¿Qué tipo de movimiento realiza el sólido?
2. ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula del sólido situada en el origen $O\,$?

Tipo de movimiento

Calculamos el segundo invariante (velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$), que es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular:

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}}{|{\vec {\omega }}|}}={\frac {({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)\cdot (-2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)}{|-2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,|}}=0$

Observamos que se trata de un movimiento que tiene primer invariante (velocidad angular) no nulo y segundo invariante (velocidad de deslizamiento) nulo. Estamos, pues, ante una rotación pura en cada instante.

Podemos calcular además un punto $I^{*}\,$ del eje instantáneo de rotación mediante la fórmula:

${\overrightarrow {OI^{*}}}={\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}}{|{\vec {\omega }}\,|^{\,2}}}={\frac {(-2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,)\times ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)}{|\!-2\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\,|^{\,2}}}={\frac {1}{9}}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-2&2&-1\\1&1&0\end{array}}\right|={\frac {1}{9}}({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-4\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m}$

Dado que por este punto $I^{*}(1/9,-1/9,-4/9)\,\,\mathrm {m}$ va a pasar siempre el eje instantáneo de rotación y, además, la dirección de dicho eje es constante (porque el vector velocidad angular es constante), podemos afirmar que el movimiento es en realidad una rotación pura de eje permanente.

Aceleración instantánea de la partícula del sólido situada en el origen O

El campo de aceleraciones tiene la expresión general:

${\vec {a}}_{O}={\vec {a}}_{I^{*}}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {I^{*}O}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {I^{*}O}}\,)={\vec {a}}_{I^{*}}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {I^{*}O}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {v}}_{O}-{\vec {v}}_{I^{*}})$

En este caso, la velocidad y la aceleración de $I^{*}\,$ son nulas por estar este punto permanentemente en reposo (pertenece al eje permanente de rotación), mientras que la aceleración angular también es nula por ser la velocidad angular constante:

${\vec {v}}_{I^{*}}={\vec {0}}\,\,\,$;    ${\vec {a}}_{I^{*}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{I^{*}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}\,\,\,$;    ${\vec {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}$

Sustituyendo:

${\vec {a}}_{O}={\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{O}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-2&2&-1\\1&1&0\end{array}}\right|=({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}-4{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m/s} ^{2}$

Puede comprobarse de manera inmediata que:

${\vec {a}}_{O}\neq {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{O}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,)}{\mathrm {d} t}}=0$

¿Por qué pasa esto a pesar de que sabemos que la aceleración de una partícula es la derivada de su velocidad respecto al tiempo? La razón es que, cuando el enunciado dice que en todo instante la velocidad de la partícula del sólido que se encuentra en el origen del sistema de referencia vale ${\vec {v}}_{O}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,$, en realidad está hablando de una partícula diferente en cada instante de tiempo. Cuando damos la velocidad del punto O en un instante dado, estamos dando la velocidad de la partícula material que en ese momento ocupa el punto O. Pero esa partícula se está moviendo, por lo que un instante después se habrá desplazado a otro sitio, y otra partícula habrá ocupado su lugar. Por tanto, si derivamos respecto al tiempo la ${\vec {v}}_{O}\,$ que se nos ha dado en el enunciado:

${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{O}}{\mathrm {d} t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {v}}_{O}(t+\Delta t)-{\vec {v}}_{O}(t)}{\Delta t}}$

estamos restando las velocidades de partículas materiales diferentes (la que se halla en O en $t+\Delta t$ y la que se halla en O en el instante $t$), y por tanto el resultado no tiene por qué coincidir con la aceleración de ninguna de ellas.

El cálculo según la expresión del campo de aceleraciones, en cambio, sí nos da el valor correcto de la aceleración de la partícula que se halla en O en el instante $t$.