Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Cálculo de las componentes de un vector

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Solución)
(Solución)
 
Línea 5: Línea 5:
==Solución==
==Solución==
-
La fuerza tendrá en general una componente en cada una de las tres direcciones del espacio
+
Ejemplo 3.3 del libro de la asignatura.
-
 
+
-
<center><math>\vec{F}_1=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}</math></center>
+
-
 
+
-
Para obtener cada una de ellas, multiplicamos por el vector unitario correspondiente. Así
+
-
 
+
-
<center><math>F_x = \vec{F}_1\cdot\vec{\imath}</math></center>
+
-
 
+
-
Por otro lado, de la definición de producto escalar
+
-
 
+
-
<center><math>F_x = \vec{F}_1\cdot\vec{\imath}=|\vec{F}_1||\vec{\imath}|\cos(60^\circ) = (10\,\mathrm{N})\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=5\,\mathrm{N}</math></center>
+
-
 
+
-
Análogamente
+
-
 
+
-
<center><math>F_y = \vec{F}_1\cdot\vec{\jmath}=|\vec{F}_1||\vec{\jmath}|\cos(60^\circ) = (10\,\mathrm{N})\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=5\,\mathrm{N}</math></center>
+
-
 
+
-
La tercera componente  la hallamos a partir de estas dos y del módulo de la fuerza
+
-
 
+
-
<center><math>|\vec{F}_1|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}\qquad\rightarrow\qquad F_z=\pm\sqrt{|\vec{F}_1|^2-F_x^2-F_y^2}</math></center>
+
-
 
+
-
Tenemos dos soluciones porque la tercera componente puede ir en la dirección del semieje OZ positivo o en la del negativo. Sustituyendo los valore snuméricos
+
-
 
+
-
<center><math>F_z =\pm\sqrt{100-25-25}\,\mathrm{N}=\pm 5\sqrt{2}\,\mathrm{N}=\pm 7.1\,\mathrm{N}</math></center>
+
-
 
+
-
Nótese que en el resultado final redondeamos a la cantidad de cifras significativas del dato de entrada (dos cifras).
+
-
 
+
-
Reuniendo los tres resultados, obtenemos las soluciones
+
-
 
+
-
<center><math>\vec{F}_1 = \left(5\vec{\imath}+5\vec{\jmath}\pm 7.1\vec{k}\right)\mathrm{N}</math></center>
+
-
 
+
-
Cuando a esta fuerza le sumamos la segunda
+
-
 
+
-
<center><math>\vec{F}_2 = \left(-10\,\vec{\imath}-10\,\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{N}</math></center>
+
-
 
+
-
obtenemos la resultante
+
-
 
+
-
<center><math>\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2 = \left(-5\vec{\imath}-5\vec{\jmath}\pm 7.1\vec{k}\right)\mathrm{N}</math></center>
+
-
 
+
-
El módulo de esta fuerza vale
+
-
 
+
-
<center><math>|\vec{F}|=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2+(5\sqrt{2})^2}\,\mathrm{N}=10\,\mathrm{N}</math></center>
+
-
 
+
-
(a la hora de hacer cálculos intermedios interesa usar las soluciones exactas, y solo redondear en los resultados finales).
+
-
 
+
-
El ángulo que forma la fuerza con el eje OX positivo lo obtenemos a partir de sus coseno
+
-
 
+
-
<center><math>\cos(\alpha_1) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{F}||\vec{\imath}|} = -0.5\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_1 = \frac{2\pi}{3}=120^\circ</math></center>
+
-
 
+
-
Análogamente para el eje OY
+
-
 
+
-
<center><math>\cos(\alpha_2) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{F}||\vec{\jmath}|} = -0.5\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_2 = \frac{2\pi}{3}=120^\circ</math></center>
+
-
 
+
-
Para el eje OZ operamos del mismo modo y tenemos dos posibilidades
+
-
 
+
-
<center><math>\cos(\alpha_3) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{k}}{|\vec{F}||\vec{k}|} = \pm 0.7\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_3 = \begin{cases}\pi/4 =45^\circ & \\ 3\pi/4 = 135^\circ & \end{cases}</math></center>
+
[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]]

última version al 09:04 30 sep 2022

1 Enunciado

De una fuerza \vec{F}_1 se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra \vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

2 Solución

Ejemplo 3.3 del libro de la asignatura.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 09:04, 30 sep 2022. - Esta página ha sido visitada 53.930 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace