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Partícula oscilando en parábola

De Laplace

1 Enunciado

Un punto material P se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria parabólica de ecuación y2 = (b2 / a)x. Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición x = a, y = b; y que la componente y de su aceleración verifica en todo instante la expresión: ay = − k2y (con k = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

2 Solución

El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas

\vec{r}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}

siendo la aceleración

\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}

En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente

\ddot{y}=-k^2y

que nos dice que en la coordenada y experimenta un movimiento armónico simple, con solución

y = A\cos(k t+\beta)\,

Las constantes A y β las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en y = b y su velocidad inicial es nula, por lo que

b = y(0) = A\cos(\beta)\,        0 = \dot{y}(0) = -Ak\,\mathrm{sen}(\beta)

de donde

\beta = 0\,        A=b\,

y la coordenada y en cada instante es

y(t) = b\cos(k t)\,

La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola

x(t) = \frac{a}{b^2}y^2(t) = a\cos^2(k t)

Aplicando relaciones trigonométricas, queda

x = \frac{a}{2}+\frac{a}{2}\cos(2kt)

que nos dice, que la partícula también oscila armónicamente en la dirección horizontal, pero con frecuencia doble que en la vertical.

El vector de posición instantánea es

\vec{r}(t) = a\cos^2(kt)\vec{\imath}+b\cos(k t)\vec{\jmath}

A partir de la posición obtenemos la velocidad

\vec{v}(t) = -2ak\cos(kt)\,\mathrm{sen}(kt)\vec{\imath}-bk\,\mathrm{sen}(kt)\vec{\jmath}

Volvemos a derivar respecto al tiempo, para obtener la aceleración

\vec{a}(t)=2ak^2\left(\mathrm{sen}^2(kt)-\cos^2(kt)\right)\vec{\imath}-bk^2\cos(kt)\vec{\jmath}

La siguiente posición de reposo se alcanza cuando la velocidad vuelve a ser nula. Separando las componentes de la velocidad

0 = \dot{x}=-2ak\cos(kt)\mathrm{sen}(kt)        0 = \dot{y}=-bk\mathrm{sen}(kt)

Estas dos componentes se anulan para

kt = \pi\qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{\pi}{k}

y la posición en ese instante es

\vec{r}(\pi/k) = a\vec{\imath}-b\vec{\jmath}

que es la posición simétrica de la inicial respecto al eje de la parábola.

b=a b=3a
Archivo:particula-parabola-1.gif Archivo:particula-parabola-3.gif

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