Enunciado

Un punto material se mueve en el plano describiendo una trayectoria parabólica de ecuación . Se sabe que la partícula se halla inicialmente en reposo en la posición , ; y que la componente de su aceleración verifica en todo instante la expresión: (con k = cte). Determine en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

Solución

El movimiento de la partícula puede descomponerse en sus componentes cartesianas

siendo la aceleración

En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente

que nos dice que en la coordenada experimenta un movimiento armónico simple, con solución

Las constantes y las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en y su velocidad inicial es nula, por lo que

    

de donde

    

y la coordenada y en cada instante es

La coordenada la obtenemos de la ecuación de la parábola

Aplicando relaciones trigonométricas, queda

que nos dice, que la partícula también oscila armónicamente en la dirección horizontal, pero con frecuencia doble que en la vertical.

El vector de posición instantánea es

A partir de la posición obtenemos la velocidad

Volvemos a derivar respecto al tiempo, para obtener la aceleración

La siguiente posición de reposo se alcanza cuando la velocidad vuelve a ser nula. Separando las componentes de la velocidad

    

Estas dos componentes se anulan para

y la posición en ese instante es

que es la posición simétrica de la inicial respecto al eje de la parábola.

b=a b=3a