Enunciado
Consideramos la misma configuración del problema anterior pero sin fuerza aplicada en el centro del disco ni momento aplicado. En el instante indicado en la figura se suelta el disco partiendo del reposo. Suponiendo que rueda sin deslizar, ¿cuánto vale la velocidad del centro del disco en el instante en que está sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} ?
Nota: El momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por su centro es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=mR^2/2} .
Solución
La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerzas en esta situación. Si no hubiera rozamiento la fuerza elástica haría que el disco deslizara hacia la izquierda. Por tanto, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} del disco se movería hacia la izquierda respecto del suelo. Para que esto no ocurra, el rozamiento produce una fuerza hacia la derecha.
La fuerza normal y de rozamiento actúan sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} del disco. Pero este punto tiene velocidad nula, pues el disco rueda sin deslizar. Por tanto, no transmiten potencia al disco
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}\cdot\vec{v}_D = 0, \qquad \vec{F}_R\cdot\vec{v}_D = 0. }
Estas son las dos únicas fuerzas no conservativas en el problema. Como no realizan trabajo, la energía mecánica se conserva.
La energía cinética del disco es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}mv_C^2 + \dfrac{1}{2}I\omega^2. }
Como el disco rueda sin deslizar se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = v_C/R. }
Por tanto la energía cinética es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}\left(m+\dfrac{I}{R^2}\right)\,v_C^2. }
La energía potencial gravitatoria es constante, pues la altura del centro de masas del disco no cambia. La energía potencial elástica es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k = k l^2/2, }
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l} la longitud el muelle. La Energía mecánica es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = T + U_k = \dfrac{1}{2}\left(m+\dfrac{I}{R^2}\right)\,v_C^2 + \dfrac{1}{2}kl^2. }
En la situación inicial tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} l = d,\\ v_C=0 \end{array} \right\} \Longrightarrow E = \dfrac{1}{2}kd^2. }
En el instante en que el centro del disco está sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} l = 0,\\ v_C=v_f \end{array} \right\} \Longrightarrow E = \dfrac{1}{2}\left(m+\dfrac{I}{R^2}\right)\,v_f^2. }
Igualando los dos valores de la energía mecánica tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_f = \sqrt{\dfrac{kd^2}{m+I/R^2}}=\sqrt{\dfrac{2kd^2}{3m}} }
Hemos utilizado el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} proporcionado en el enunciado.
