Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2014 (G.I.C.)
Enunciado
Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de ecuaciones implícitas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=A(1-x^2/A^2)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es una constante. La coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} varía en el intervalo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in[0,A]} .
- Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula
- Suponiendo que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la distancia recorrida es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=0 } encuentra la expresión que da la distancia total recorrida sobre la curva.
- ¿Cuál es el vector normal a la trayectoria en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0 } ?
Solución
Vector tangente
Podemos parametrizar la curva en función de la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(x) = x\,\vec{\imath} + A\left(1-\dfrac{x^2}{A^2}\right)\,\vec{\jmath} }
Calculamos el vector tangente usando la expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}(x) = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right|} }
Derivando en la parametrización tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x} = \vec{\imath} - \dfrac{2x}{A}\,\vec{\jmath} }
El módulo de este vector es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right| = \sqrt{1+\dfrac{4x^2}{A^2}} = \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A} }
Por tanto el vector tangente es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T} = \dfrac{A}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{2x}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\jmath} }
Distancia recorrida
La distancia recorrida en un desplazamiento elemental es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}| = \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right|\,\mathrm{d}x = \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A}\,\mathrm{d}x }
La distancia total recorrida es la suma de todos estos desplazamientos elementales, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s = \int\limits_0^A \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A}\,\mathrm{d}x }
Vector normal en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
La forma más fácil de encontrar este vector es dibujar la curva. A la derecha se muestra la gráfica escogiendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=1} . Vemos que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0} el vector normal es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}(0) = -\vec{\jmath} }
Otra forma más complicada es calcular el vector normal derivando el vector tangente,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}(x) = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}x}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}x}\right|} }
El resultado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = -\dfrac{2x}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{A}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\jmath} }
Evaluándolo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0} obtenemos el resultado anterior.
