Diferencia entre revisiones de «Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2014 (G.I.C.)»
(Página creada con «== Enunciado == Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de ecuaciones implícitas <math>y=A(1-x^2/A^2)</math> y <math>z=0</math>, donde <math>A</math> es una constante. La coordenada <math>x</math> varía en el intervalo <math>x\in[0,A]</math>. #Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula #Suponiendo que en <math> t=0</math> la distancia recorrida es <math>s=0 </math> encuentra la expresión que da la dista…») |
(Sin diferencias)
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Revisión actual - 19:46 2 nov 2023
Enunciado
Una partícula se mueve siguiendo la trayectoria descrita por la curva de ecuaciones implícitas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=A(1-x^2/A^2)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es una constante. La coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} varía en el intervalo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in[0,A]} .
- Determina el vector tangente en función de la posición de la partícula
- Suponiendo que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la distancia recorrida es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=0 } encuentra la expresión que da la distancia total recorrida sobre la curva.
- ¿Cuál es el vector normal a la trayectoria en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0 } ?
Solución
Vector tangente
Podemos parametrizar la curva en función de la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(x) = x\,\vec{\imath} + A\left(1-\dfrac{x^2}{A^2}\right)\,\vec{\jmath} }
Calculamos el vector tangente usando la expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}(x) = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right|} }
Derivando en la parametrización tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x} = \vec{\imath} - \dfrac{2x}{A}\,\vec{\jmath} }
El módulo de este vector es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right| = \sqrt{1+\dfrac{4x^2}{A^2}} = \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A} }
Por tanto el vector tangente es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T} = \dfrac{A}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{2x}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\jmath} }
Distancia recorrida
La distancia recorrida en un desplazamiento elemental es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}| = \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}x}\right|\,\mathrm{d}x = \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A}\,\mathrm{d}x }
La distancia total recorrida es la suma de todos estos desplazamientos elementales, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s = \int\limits_0^A \dfrac{\sqrt{A^2+4x^2}}{A}\,\mathrm{d}x }
Vector normal en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
La forma más fácil de encontrar este vector es dibujar la curva. A la derecha se muestra la gráfica escogiendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=1} . Vemos que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0} el vector normal es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}(0) = -\vec{\jmath} }
Otra forma más complicada es calcular el vector normal derivando el vector tangente,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}(x) = \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}x}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}x}\right|} }
El resultado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = -\dfrac{2x}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{A}{\sqrt{A^2+4x^2}}\,\vec{\jmath} }
Evaluándolo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0} obtenemos el resultado anterior.