Enunciado

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{g}=-g\,\vec{k}} ). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales

  1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)=\vec{0}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}} .
  2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)=h\,\vec{k}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}} .
  3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)=\vec{0}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)=\vec{v}_0=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{k}} .

Solución

El campo gravitatorio ejerce una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=m\,\vec{g}} sobre una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} . Según la Segunda Ley de Newton la aceleración de la partícula es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \dfrac{1}{m}\vec{F} = \dfrac{1}{m}m\,\vec{g} = \vec{g} }

El enunciado nos da un sistema de ejes en el que la aceleración de la gravedad está dirigida en el sentido negativo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ} , esto es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{g} = -g\,\vec{k} }

La velocidad de la partícula se calcula como la integral del vector aceleración en el tiempo. Si la velocidad inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\mathrm{d}\vec{v} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t \Longrightarrow \vec{v}(t) = \vec{v}(0) - \int\limits_0^t g\,\vec{k}\,\mathrm{d} t }

Teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} son constantes podemos hacer la integral para obtener

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t) = \vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k} }

La posición se determina de modo similar integrando la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t \vec{v} \,\mathrm{d} t \Longrightarrow \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int\limits_0^t\left(\vec{v}(0) - g\,t\,\vec{k} \right)\,\mathrm{d} t }

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} son constantes obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \vec{v}(0)\,t - \dfrac{1}{2}g\,t^2\,\vec{k} }

Las expresiones para el vector de posición y de velocidad describen el movimiento de una partícula en el seno del campo gravitatorio. El movimiento concreto depende del valor de estas condiciones iniciales. Vamos a ver los tres casos descritos en el enunciado

Caso 1

Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{v}(t) = (v_0 - g\,t) \, \vec{k} \\ \\ \vec{r}(t) = \left(v_0t-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,\vec{k} \end{array} \right. }

Tanto la velocidad como el vector de posición son paralelos al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ} en todo instante de tiempo. En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la velocidad es positiva (suponiendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0>0} ) por lo que la partícula sube verticalmente. AL avanzar el tiempo el término Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle gt\,} crece, hasta que iguala a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y lo sobrepasa. En ese instante la velocidad es negativa y la partícula se desplaza hacia abajo. La trayectoria es una línea recta. Este caso corresponde al tiro vertical.

El instante para el que la altura es máxima corresponde al momento en que la velocidad se hace cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t_{max}) = 0 \Longrightarrow t_{max} = v_0/g }

La altura máxima que alcanza la partícula se obtiene sustituyendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_{max}} en la expresión que da el vector de posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t_{max}) = \dfrac{v_0^2}{2g}\,\vec{k} }

La figura muestra la orientación de la velocidad y el vector de posición antes y después de que la partícula alcance su máxima altura. A la derecha están representados la evolución en el tiempo de la velocidad y la altura para el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=1\,\mathbf{m/s}} . El máximo de la altura corresponde al cero de la velocidad, como debe ser pues la velocidad es la derivada de la altura. Mientras que la velocidad es positiva la altura crece, y cuando se hace negativa decrece.

Caso 2

Aplicando las condiciones iniciales tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{v}(t) = v_0\,\vec{\imath} - g\,t \, \vec{k} \\ \\ \vec{r}(t) = v_0t\,\vec{\imath} + \left(h-\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb \end{array} \right. }

En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la velocidad de la partícula es horizontal. Según avanza el tiempo, la aceleración hace que aparezca una componente vertical hacia abajo. Esta situación corresponde al tiro horizontal. El desplazamiento de la partícula tiene una componente horizontal de movimiento con velocidad uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y otra vertical con movimiento uniformemente acelerado.

La figura muestra a la izquierda la trayectoria de la partícula y a la derecha la evolución de las componentes de la velocidad y la aceleración. La componente horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_x} es constante en el tiempo, mientras que el valor absoluto de la componente vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_z(t)} crece linealmente con el tiempo. Por lo que respecta a las componentes espaciales, la horizontal crece linealmente y la vertical decrece con el cuadrado del tiempo.


Caso 3

Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{v}(t) = v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} +(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha - g\,t) \, \vec{k} \\ \\ \vec{r}(t) = t\,v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + \left(t\,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha -\dfrac{1}{2}g\,t^2\right)\,kb \end{array} \right. }

En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la velocidad forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} con la horizontal. La componente horizontal no cambia en el tiempo. La vertical es primero positiva, hasta que el término gravitatorio la anula y después la hace negativa. El movimiento corresponde a un tiro oblicuo.

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