Partícula en el campo gravitatorio terrestre (GIA)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (${\vec {g}}=-g\,{\vec {k}}$). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales

1. ${\vec {r}}(0)={\vec {0}}$, ${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {k}}$.
2. ${\vec {r}}(0)=h\,{\vec {k}}$, ${\vec {v}}(0)=v_{0}\,{\vec {\imath }}$.
3. ${\vec {r}}(0)={\vec {0}}$, ${\vec {v}}(0)={\vec {v}}_{0}=v_{0}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {k}}$.

Solución

El campo gravitatorio ejerce una fuerza ${\vec {F}}=m\,{\vec {g}}$ sobre una partícula de masa $m$. Según la Segunda Ley de Newton la aceleración de la partícula es

${\vec {a}}={\dfrac {1}{m}}{\vec {F}}={\dfrac {1}{m}}m\,{\vec {g}}={\vec {g}}$

El enunciado nos da un sistema de ejes en el que la aceleración de la gravedad está dirigida en el sentido negativo del eje $OZ$, esto es

${\vec {g}}=-g\,{\vec {k}}$

La velocidad de la partícula se calcula como la integral del vector aceleración en el tiempo. Si la velocidad inicial es ${\vec {v}}(0)$ tenemos

$\int \limits _{{\vec {v}}(0)}^{{\vec {v}}(t)}\mathrm {d} {\vec {v}}=\int \limits _{0}^{t}{\vec {a}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow {\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)-\int \limits _{0}^{t}g\,{\vec {k}}\,\mathrm {d} t$

Teniendo en cuenta que $g$ y ${\vec {k}}$ son constantes podemos hacer la integral para obtener

${\vec {v}}(t)={\vec {v}}(0)-g\,t\,{\vec {k}}$

La posición se determina de modo similar integrando la velocidad

$\int \limits _{{\vec {r}}(0)}^{{\vec {r}}(t)}\mathrm {d} {\vec {r}}=\int \limits _{0}^{t}{\vec {v}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow {\vec {r}}(t)={\vec {r}}(0)+\int \limits _{0}^{t}\left({\vec {v}}(0)-g\,t\,{\vec {k}}\right)\,\mathrm {d} t$

Como ${\vec {v}}(0)$, $g$ y ${\vec {k}}$ son constantes obtenemos

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}(0)+{\vec {v}}(0)\,t-{\dfrac {1}{2}}g\,t^{2}\,{\vec {k}}$

Las expresiones para el vector de posición y de velocidad describen el movimiento de una partícula en el seno del campo gravitatorio. El movimiento concreto depende del valor de estas condiciones iniciales. Vamos a ver los tres casos descritos en el enunciado

Caso 1

Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}(t)=(v_{0}-g\,t)\,{\vec {k}}\\\\{\vec {r}}(t)=\left(v_{0}t-{\dfrac {1}{2}}g\,t^{2}\right)\,{\vec {k}}\end{array}}\right.$

Tanto la velocidad como el vector de posición son paralelos al eje $OZ$ en todo instante de tiempo. En $t=0$ la velocidad es positiva (suponiendo $v_{0}>0$) por lo que la partícula sube verticalmente. AL avanzar el tiempo el término $gt\,$ crece, hasta que iguala a $v_{0}$ y lo sobrepasa. En ese instante la velocidad es negativa y la partícula se desplaza hacia abajo. La trayectoria es una línea recta. Este caso corresponde al tiro vertical.

El instante para el que la altura es máxima corresponde al momento en que la velocidad se hace cero

$v(t_{max})=0\Longrightarrow t_{max}=v_{0}/g$

La altura máxima que alcanza la partícula se obtiene sustituyendo $t_{max}$ en la expresión que da el vector de posición

${\vec {r}}(t_{max})={\dfrac {v_{0}^{2}}{2g}}\,{\vec {k}}$

La figura muestra la orientación de la velocidad y el vector de posición antes y después de que la partícula alcance su máxima altura. A la derecha están representados la evolución en el tiempo de la velocidad y la altura para el caso $v_{0}=1\,\mathbf {m/s}$. El máximo de la altura corresponde al cero de la velocidad, como debe ser pues la velocidad es la derivada de la altura. Mientras que la velocidad es positiva la altura crece, y cuando se hace negativa decrece.

Caso 2

Aplicando las condiciones iniciales tenemos

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}(t)=v_{0}\,{\vec {\imath }}-g\,t\,{\vec {k}}\\\\{\vec {r}}(t)=v_{0}t\,{\vec {\imath }}+\left(h-{\dfrac {1}{2}}g\,t^{2}\right)\,kb\end{array}}\right.$

En $t=0$ la velocidad de la partícula es horizontal. Según avanza el tiempo, la aceleración hace que aparezca una componente vertical hacia abajo. Esta situación corresponde al tiro horizontal. El desplazamiento de la partícula tiene una componente horizontal de movimiento con velocidad uniforme $v_{0}$ y otra vertical con movimiento uniformemente acelerado.

La figura muestra a la izquierda la trayectoria de la partícula y a la derecha la evolución de las componentes de la velocidad y la aceleración. La componente horizontal $v_{x}$ es constante en el tiempo, mientras que el valor absoluto de la componente vertical $v_{z}(t)$ crece linealmente con el tiempo. Por lo que respecta a las componentes espaciales, la horizontal crece linealmente y la vertical decrece con el cuadrado del tiempo.

Caso 3

Sustituyendo las condiciones iniciales tenemos

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}(t)=v_{0}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+(v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha -g\,t)\,{\vec {k}}\\\\{\vec {r}}(t)=t\,v_{0}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\left(t\,v_{0}\,\mathrm {sen} \,\alpha -{\dfrac {1}{2}}g\,t^{2}\right)\,kb\end{array}}\right.$

En $t=0$ la velocidad forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. La componente horizontal no cambia en el tiempo. La vertical es primero positiva, hasta que el término gravitatorio la anula y después la hace negativa. El movimiento corresponde a un tiro oblicuo.