Masa en superficie horizontal con masa colgando verticalmente

Enunciado

Dos masas puntuales $m_{1}$ y $m_{2}$ están unidas por una cuerda sin masa y longitud $L$, que desliza sobre una polea también sin masa, como se indica en la figura. La masa $m_{1}$ está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el origen del sistema de referencia $OXY$.

1. Suponiendo que no hay rozamiento, encuentra la posición de equilibrio del sistema.
2. Si hay rozamiento entre $m_{1}$ y la superfice horizontal, caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático $\mu$, encuentra el rango de posibles posiciones de equilibrio. Suponiendo $m_{1}=kL/4g$ y $m_{2}=kL/2g$ ¿que condición debe cumplir $\mu$ para que toda la superfice sea una posible posición de equilibrio?
3. Encuentra la ecuación de movimiento de las dos masas suponiendo que no hay rozamiento.
4. Calcula el vector de posición de las dos masas en función del tiempo si las condiciones iniciales son $x_{1}(0)=m_{2}g/k$ y ${\dot {x}}_{1}(0)=v_{0}$.

Solución

Posición de equilibrio sin rozamiento

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. Para la masa 1 son: su peso ${\vec {G}}_{1}$, la fuerza del muelle ${\vec {F}}_{k}$, la de la cuerda ${\vec {T}}_{1}$ y la fuerza vincular ejercida por la superficie horizontal ${\vec {N}}_{1}$. Para la masa 2 son su peso ${\vec {G}}_{2}$ y la fuerza de la cuerda ${\vec {T}}_{2}$. Usando la base cartesiana asociada a los ejes de la figura estas fuerzas pueden expresarse así

Masa 1

${\begin{array}{l}{\vec {G}}_{1}=-m_{1}g{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{k}=-k\,{\overrightarrow {OP}}_{1}=-kx_{1}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {N}}_{1}=N\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {T}}_{1}=T\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Masa 2

${\begin{array}{l}{\vec {G}}_{2}=-m_{2}g{\vec {\jmath }},\\{\vec {T}}_{2}=T\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Hemos usado que, al ser la polea y la cuerda sin masa, la tensión se transmite a lo largo de la cuerda.

La condición de equilibrio es que la suma de las fuerzas sobre cada masa sea nula. Esto nos da 4 ecuaciones, pues el problema es bidimensional. Tenemos

${\vec {G}}_{1}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}_{1}+{\vec {T}}_{1}={\vec {0}}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lcll}X)&\to &-kx_{1}+T=0,&(1)\\Y)&\to &N-m_{1}g=0.&(2)\end{array}}\right.$

${\vec {G}}_{2}+{\vec {T}}_{2}={\vec {0}}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lcll}X)&\to &0=0,&(3)\\Y)&\to &T-m_{2}g=0.&(4)\end{array}}\right.$

En este caso la ecuación (3) es superflua porque la masa 2 sólo tiene movimiento vertical.

Las incógnitas son $\{x_{1},N,T\}$ y tenemos 3 ecuaciones. El problema tiene solución única y es

$x_{1}^{eq}=m_{2}g/k,\qquad N=m_{1}g,\qquad T=m_{2}g.$

Posiciones de equilibrio con rozamiento

El diagrama de fuerzas de la derecha es similar al del apartado anterior. La diferencia es que hay que añadir una fuerza más sobre la masa 1, la de rozamiento que ejerce la superficie horizontal. Sólo conocemos a priori su dirección no el sentido. Tampoco conocemos su magnitude. Esta fuerza se expresa

${\vec {F}}_{F}=f\,{\vec {\imath }}.$

Las condiciones de equilibrio y las ecuaciones correspondiente son

${\vec {G}}_{1}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}_{1}+{\vec {T}}_{1}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lcll}X)&\to &-kx_{1}+T+f=0,&(5)\\Y)&\to &N-m_{1}g=0.&(6)\end{array}}\right.$

${\vec {G}}_{2}+{\vec {T}}_{2}={\vec {0}}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lcll}X)&\to &0=0,&(7)\\Y)&\to &T-m_{2}g=0.&(8)\end{array}}\right.$

Ahora las magnitudes desconocidas son $\{x_{1},T,f,N\}$. Son 4. Y sólo tenemos 3 ecuaciones.

Lo que ocurre es que ahora la solución no es única. El rozamiento hace que haya varios valores posibles de $x_{1}$ para los que las masas están en equilibrio. ¿Cómo afrontamos esta situación? Vamos a suponer que el valor de $x_{1}$ es un dato. Vamos a llamarlo $x_{1}=d$. Si ahora $d$ es un dato, las incógnitas son $\{T,f,N\}$. Podemos entonces calcular su valor con las ecuaciones (5), (6) y (8).

$f=kd-m_{2}g,\qquad N=m_{1}g,\qquad T=m_{2}g.$

Con estos resultados las fuerzas vinculares que actúan sobre las masas, (usando los valores de $m_{1}$ y $m_{2}$ que se dan para este apartado)

${\vec {F}}_{R}=(kd-m_{2}g)\,{\vec {\imath }},\qquad {\vec {N}}_{1}=m_{1}g\,{\vec {\jmath }},\qquad {\vec {T}}_{1}=m_{2}g\,{\vec {\imath }},\qquad {\vec {T}}_{2}=m_{2}g\,{\vec {\jmath }}.$

Esos son los valores de las fuerzas necesarios para que haya equilibrio. Ahora bien, esas cuatro fuerzas no se comportan igual. Las fuerzas ${\vec {N}}_{1}$, ${\vec {T}}_{1}$ y ${\vec {T}}_{2}$ pueden ser tan grandes como haga falta, pues suponemos que las ligaduras a las que están asociadas se mantienen siempre. Pero la fuerza de rozamiento ${\vec {F}}_{R}$ no se comporta igual. Esta fuerza tiene un módulo máximo que vale

$|{\vec {F}}_{R}^{max}|=\mu |{\vec {N}}_{1}|=\mu m_{1}g$

Es decir, el valor de la fuerza de rozamiento tiene que cumplir la condición

$|kd-m_{2}g|\leq \mu m_{1}g.$

Utilizando los valores de $m_{1}$ y $m_{2}$ que se dan para este apartado esta condición queda

$|2d-L|\leq \mu L/2.\qquad \qquad (9)$

Debemos considerar dos situaciones posibles:

$2d>L$: En este caso se tiene que $(2d-L)>0$, y por tanto $|2d-L|=2d-L$. Usándolo en (9) obtenemos

$2d-L\leq \mu {\dfrac {L}{2}}\longrightarrow d\leq (2+\mu )\,{\dfrac {L}{4}}=x_{max}.$

$2d<L$: En este caso se tiene que $(2d-L)<0$, y por tanto $|2d-L|=-(2d-L)=L-2d$. Usándolo en (9) obtenemos

$L-2d\leq \mu {\dfrac {L}{2}}\longrightarrow d\geq (2-\mu )\,{\dfrac {L}{4}}=x_{min}.$

Es decir, para que la fuerza de rozamiento sea capaz de mantener el equilibrio deben cumplirse estas dos condiciones a la vez, lo que nos dice que el valor de $d$ (que da el valor posible de equilibrio de $x$) debe cumplir

$d\in [x_{min},x_{max}]$

¿Que pasa si $2d=L$?. Esta posición corresponde al valor de $x_{1}^{eq}=L/2$ con los valores de las masas usados en este apartado. En este caso, la fuerza de rozamiento es cero pues no hace falta para mantener el equilibrio. Podemos entender ahora que significan las dos situaciones que hemos considerado. Si $d<L/2$ la masa 1 estaría a la izquierda de la posición de equilibrio sin rozamiento. Entonces la fuerza del muelle sería menor que la fuerza que ejerce la cuerda y la fuerza de rozamiento apuntaría hacia la izquierda para compensar. Si $d>L/2$ la masa 1 estaría a la derecha de la posición de equilibrio sin rozamiento y la fuerza ejercida por el muelle sería mayor que la de la cuerda y la fuerza de rozamiento apuntaría hacia la derecha para compensar.

Condición para que toda la superficie horizontal sea de equilibrio

Para que esto ocurra debe cumplirse

${\begin{array}{l}x_{min}\leq 0\longrightarrow 2-\mu \leq 0\longrightarrow \mu \geq 2,\\x_{max}\geq L\longrightarrow 2+\mu \geq 4\longrightarrow \mu \geq 2.\end{array}}$

Por tanto, la condición sobre el coeficiente de rozamiento es

$\mu \geq 2.$

Movimiento sin rozamiento

Si no hay rozamiento el diagrama de fuerzas del primer apartado vuelve a ser válido. Lo que cambia ahora es que la ley física que tenemos que aplicar es la Segunda Ley de Newton. Hay que hacerlo para las dos masas por separado

${\begin{array}{l}m_{1}{\vec {a}}_{1}={\vec {F}}_{g1}+{\vec {N}}_{1}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {T}}_{1},\\m_{2}{\vec {a}}_{2}={\vec {F}}_{g2}+{\vec {T}}_{2}.\end{array}}$

Tenemos que encontrar expresiones para las aceleraciones de las masas. Del dibujo de la derecha vemos que

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}_{1}=x_{1}\,{\vec {\imath }},\\{\overrightarrow {OP}}_{2}=L\,{\vec {\imath }}-h\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

El enunciado dice que la longitud de la cuerda es $L$. Entonces se cumple

$(L-x_{1})+h=L\longrightarrow h=x_{1}.$

Entonces tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}_{1}=x_{1}\,{\vec {\imath }},\\{\overrightarrow {OP}}_{2}=L\,{\vec {\imath }}-x_{1}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Derivamos una vez respecto al tiempo para obtener las velocidades

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{1}={\dot {\overrightarrow {OP}}}_{1}={\dot {x}}_{1}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {v}}_{2}={\dot {\overrightarrow {OP}}}_{2}=-{\dot {x}}_{1}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Derivamos otra vez respecto del tiempo para obtener las aceleraciones

${\begin{array}{l}{\vec {a}}_{1}={\dot {\vec {v}}}_{1}={\ddot {x}}_{1}\,{\vec {\imath }},\\{\vec {a}}_{2}={\dot {\vec {v}}}_{2}=-{\ddot {x}}_{1}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

A partir de la Segunda Ley de Newton obtenemos

${\begin{array}{l}m_{1}{\vec {a}}_{1}={\vec {G}}_{1}+{\vec {N}}_{1}+{\vec {T}}_{1}+{\vec {F}}_{k}\left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &m_{1}{\ddot {x}}_{1}=T-kx_{1},&(10)\\Y)&\to &0=-m_{1}g+N_{1}.&(11)\end{array}}\right.\\m_{2}{\vec {a}}_{2}={\vec {G}}_{2}+{\vec {T}}_{2}\to \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &0=0&(12)\\Y)&\to &-m_{2}{\ddot {x}}_{1}=-m_{2}g+T.&(13)\end{array}}\right.\end{array}}$

Sumando las ecuaciones (10) y (13) tenemos

$(m_{1}+m_{2}){\ddot {x}}_{1}=-kx_{1}-m_{2}g\longrightarrow {\ddot {x}}_{1}=-{\dfrac {k}{m_{1}+m_{2}}}x_{1}-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g.\qquad (14)$

Esta es la ecuación de movimiento. Las ecuaciones (11) y (13) nos dan los valores de $N_{1}$ y $T$:

$N_{1}=m_{1}g,\qquad T=m_{2}g-m{\ddot {x}}_{1}.$

Es interesante destacar que $T$ no es igual al peso de la masa 2. Esto sólo ocurre en situación de equilibrio estático, es decir, cuando ${\ddot {x}}_{1}=0$.

Solución para las condiciones iniciales dadas

Para poner la ecuación (14) en una forma mas reconocible, usamos la distancia $s$ para describir la posición de la masa 1 (ver figura de la derecha)

$x_{1}(t)=x_{1}^{eq}+s(t)={\dfrac {m_{2}g}{k}}\longrightarrow {\dot {x}}_{1}(t)={\dot {s}}(t)\longrightarrow {\ddot {x}}_{1}(t)={\ddot {s}}(t).$

Sustituyendo estas expresiones de $x_{1}$ y ${\ddot {x}}_{1}$ en la ecuación (14) obtenemos la ecuación diferencial

${\ddot {s}}=-{\dfrac {k}{m_{1}+m_{2}}}s$

Esta ecuación tiene la forma

${\ddot {s}}=-\omega _{0}^{2}s,\qquad \omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m_{1}+m_{2}}}}.$

Corresponde a un movimiento armónico simple con período

$T={\dfrac {2\pi }{w_{0}}}=2\pi {\sqrt {\dfrac {m_{1}+m_{2}}{k}}}.$

La solución general es de la forma

$s(t)=A\cos(\omega _{0}t)+B\,\mathrm {sen} (\omega _{0}t).$

Las constantes $A$ y $B$ hay que determinarlas a partir de las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales para $s(t)$ son

$x_{1}(0)={\dfrac {m_{2}g}{k}}\longrightarrow s(0)=0,\qquad {\dot {x}}_{1}(0)=v_{0}\longrightarrow {\dot {s}}(0)=v_{0}.$

Aplicando estas condiciones obtenemos

${\begin{array}{l}\left.{\begin{array}{l}s(0)=0\\s(0)=A\end{array}}\right\}\longrightarrow A=0.\\\left.{\begin{array}{l}{\dot {s}}(0)=v_{0}\\{\dot {s}}(0)=B\omega _{0}\end{array}}\right\}\longrightarrow B=v_{0}/\omega _{0}.\end{array}}$

Por tanto, el movimiento de la masa 1 queda descrito por

$s(t)={\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t)\longrightarrow x_{1}(t)={\dfrac {m_{2}g}{k}}+{\dfrac {v_{0}}{\omega _{0}}}\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t)$

El movimiento de la masa 2 también queda determinado al conocer $x_{1}(t)$.