Masa en superficie horizontal con masa colgando verticalmente
Enunciado
Dos masas puntuales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} están unidas por una cuerda sin masa y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , que desliza sobre una polea también sin masa, como se indica en la figura. La masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} está conectada a un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el origen del sistema de referencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} .
- Suponiendo que no hay rozamiento, encuentra la posición de equilibrio del sistema.
- Si hay rozamiento entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y la superfice horizontal, caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} , encuentra el rango de posibles posiciones de equilibrio. Suponiendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1= kL/4g} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2= kL/2g} ¿que condición debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} para que toda la superfice sea una posible posición de equilibrio?
- Encuentra la ecuación de movimiento de las dos masas suponiendo que no hay rozamiento.
- Calcula el vector de posición de las dos masas en función del tiempo si las condiciones iniciales son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1(0)=m_2g/k} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}_1(0)=v_0} .
Solución
Posición de equilibrio sin rozamiento
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada una de las masas. Para la masa 1 son: su peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{G}_1} , la fuerza del muelle Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k} , la de la cuerda Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_1} y la fuerza vincular ejercida por la superficie horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_1} . Para la masa 2 son su peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{G}_2} y la fuerza de la cuerda Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_2} . Usando la base cartesiana asociada a los ejes de la figura estas fuerzas pueden expresarse así
Masa 1
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{G}_1 = -m_1 g \vec{\jmath}, \\ \vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{OP}_1 = -kx_1\,\vec{\imath},\\ \vec{N}_1 = N\,\vec{\jmath},\\ \vec{T}_1 = T\,\vec{\imath}. \end{array} }
Masa 2
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{G}_2 = -m_2 g \vec{\jmath}, \\ \vec{T}_2 = T\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Hemos usado que, al ser la polea y la cuerda sin masa, la tensión se transmite a lo largo de la cuerda.
La condición de equilibrio es que la suma de las fuerzas sobre cada masa sea nula. Esto nos da 4 ecuaciones, pues el problema es bidimensional. Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{G}_1 + \vec{F}_k + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = \vec{0} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lcll} X) & \to & -kx_1 + T = 0, & (1)\\ Y) & \to & N-m_1g = 0. & (2) \end{array} \right. }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{G}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lcll} X) & \to & 0 = 0, & (3)\\ Y) & \to & T-m_2g = 0. & (4) \end{array} \right. }
En este caso la ecuación (3) es superflua porque la masa 2 sólo tiene movimiento vertical.
Las incógnitas son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x_1, N, T\}} y tenemos 3 ecuaciones. El problema tiene solución única y es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1^{eq} = m_2 g/k, \qquad N = m_1g, \qquad T = m_2g. }
Posiciones de equilibrio con rozamiento
El diagrama de fuerzas de la derecha es similar al del apartado anterior. La diferencia es que hay que añadir una fuerza más sobre la masa 1, la de rozamiento que ejerce la superficie horizontal. Sólo conocemos a priori su dirección no el sentido. Tampoco conocemos su magnitude. Esta fuerza se expresa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_F = f\,\vec{\imath}. }
Las condiciones de equilibrio y las ecuaciones correspondiente son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{G}_1 + \vec{F}_k + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + \vec{F}_R = \vec{0} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lcll} X) & \to & -kx_1 + T + f = 0, & (5)\\ Y) & \to & N-m_1g = 0. & (6) \end{array} \right. }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{G}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0} \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lcll} X) & \to & 0 = 0, & (7)\\ Y) & \to & T-m_2g = 0. & (8) \end{array} \right. }
Ahora las magnitudes desconocidas son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x_1, T, f, N\}} . Son 4. Y sólo tenemos 3 ecuaciones.
Lo que ocurre es que ahora la solución no es única. El rozamiento hace que haya varios valores posibles de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1} para los que las masas están en equilibrio. ¿Cómo afrontamos esta situación? Vamos a suponer que el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1} es un dato. Vamos a llamarlo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 = d} . Si ahora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} es un dato, las incógnitas son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{T, f, N\}} . Podemos entonces calcular su valor con las ecuaciones (5), (6) y (8).
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f = kd - m_2g, \qquad N=m_1g, \qquad T = m_2g. }
Con estos resultados las fuerzas vinculares que actúan sobre las masas, (usando los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} que se dan para este apartado)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R = ( kd - m_2g)\,\vec{\imath}, \qquad \vec{N}_1 = m_1g\,\vec{\jmath}, \qquad \vec{T}_1 = m_2g\,\vec{\imath}, \qquad \vec{T}_2=m_2g\,\vec{\jmath}. }
Esos son los valores de las fuerzas necesarios para que haya equilibrio. Ahora bien, esas cuatro fuerzas no se comportan igual. Las fuerzas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_1} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_2} pueden ser tan grandes como haga falta, pues suponemos que las ligaduras a las que están asociadas se mantienen siempre. Pero la fuerza de rozamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R} no se comporta igual. Esta fuerza tiene un módulo máximo que vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_R^{max}| = \mu |\vec{N}_1| = \mu m_1g }
Es decir, el valor de la fuerza de rozamiento tiene que cumplir la condición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |kd - m_2g| \leq \mu m_1g. }
Utilizando los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} que se dan para este apartado esta condición queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |2d - L| \leq \mu L/2. \qquad\qquad(9) }
Debemos considerar dos situaciones posibles:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2d>L} : En este caso se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2d-L)>0} , y por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |2d-L| = 2d-L} . Usándolo en (9) obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2d-L \leq \mu \dfrac{L}{2} \longrightarrow d\leq (2+\mu)\,\dfrac{L}{4}=x_{max}. }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2d<L} : En este caso se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2d-L)<0} , y por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |2d-L| = -(2d-L)=L-2d} . Usándolo en (9) obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L-2d \leq \mu \dfrac{L}{2} \longrightarrow d\geq (2-\mu)\,\dfrac{L}{4}=x_{min}. }
Es decir, para que la fuerza de rozamiento sea capaz de mantener el equilibrio deben cumplirse estas dos condiciones a la vez, lo que nos dice que el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} (que da el valor posible de equilibrio de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} ) debe cumplir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d \in [x_{min}, x_{max}] }
¿Que pasa si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2d=L} ?. Esta posición corresponde al valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1^{eq}=L/2} con los valores de las masas usados en este apartado. En este caso, la fuerza de rozamiento es cero pues no hace falta para mantener el equilibrio. Podemos entender ahora que significan las dos situaciones que hemos considerado. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d<L/2} la masa 1 estaría a la izquierda de la posición de equilibrio sin rozamiento. Entonces la fuerza del muelle sería menor que la fuerza que ejerce la cuerda y la fuerza de rozamiento apuntaría hacia la izquierda para compensar. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d>L/2} la masa 1 estaría a la derecha de la posición de equilibrio sin rozamiento y la fuerza ejercida por el muelle sería mayor que la de la cuerda y la fuerza de rozamiento apuntaría hacia la derecha para compensar.
Condición para que toda la superficie horizontal sea de equilibrio
Para que esto ocurra debe cumplirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} x_{min} \leq 0 \longrightarrow 2-\mu \leq 0 \longrightarrow \mu\geq 2, \\ x_{max} \geq L \longrightarrow 2+\mu \geq 4 \longrightarrow \mu\geq 2. \end{array} }
Por tanto, la condición sobre el coeficiente de rozamiento es
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Movimiento sin rozamiento
Si no hay rozamiento el diagrama de fuerzas del primer apartado vuelve a ser válido. Lo que cambia ahora es que la ley física que tenemos que aplicar es la Segunda Ley de Newton. Hay que hacerlo para las dos masas por separado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m_1\vec{a}_1 = \vec{F}_{g1} + \vec{N}_1 + \vec{F}_k + \vec{T}_1,\\ m_2\vec{a}_2 = \vec{F}_{g2} + \vec{T}_2. \end{array} }
Tenemos que encontrar expresiones para las aceleraciones de las masas. Del dibujo de la derecha vemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{OP}_1 = x_1\,\vec{\imath},\\ \overrightarrow{OP}_2 = L\,\vec{\imath} - h\,\vec{\jmath}. \end{array} }
El enunciado dice que la longitud de la cuerda es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} . Entonces se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (L-x_1) + h = L \longrightarrow h = x_1. }
Entonces tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{OP}_1 = x_1\,\vec{\imath},\\ \overrightarrow{OP}_2 = L\,\vec{\imath} - x_1\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Derivamos una vez respecto al tiempo para obtener las velocidades
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_1 = \dot{\overrightarrow{OP}}_1 = \dot{x}_1\,\vec{\imath},\\ \vec{v}_2 = \dot{\overrightarrow{OP}}_2 = - \dot{x}_1\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Derivamos otra vez respecto del tiempo para obtener las aceleraciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}_1 = \dot{\vec{v}}_1 = \ddot{x}_1\,\vec{\imath},\\ \vec{a}_2 = \dot{\vec{v}}_2 = - \ddot{x}_1\,\vec{\jmath}. \end{array} }
A partir de la Segunda Ley de Newton obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m_1\vec{a}_1 = \vec{G}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 + \vec{F}_k \left\{ \begin{array}{lclr} X) & \to & m_1\ddot{x}_1 = T - kx_1, & (10)\\ Y) & \to & 0 = -m_1g + N_1. & (11) \end{array} \right.\\ m_2\vec{a}_2 = \vec{G}_2 + \vec{T}_2 \to \left\{ \begin{array}{lclr} X) & \to & 0 = 0 & (12)\\ Y) & \to & -m_2\ddot{x}_1 = -m_2g + T. & (13) \end{array} \right. \end{array} }
Sumando las ecuaciones (10) y (13) tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (m_1+m_2) \ddot{x}_1 = -kx_1 + m_2g \longrightarrow \ddot{x}_1 = -\dfrac{k}{m_1+m_2}x_1 + \dfrac{m_2}{m_1+m_2}g. \qquad (14) }
Esta es la ecuación de movimiento. Las ecuaciones (11) y (13) nos dan los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} :
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_1 = m_1g, \qquad T = m_2g - m\ddot{x}_1. }
Es interesante destacar que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} no es igual al peso de la masa 2. Esto sólo ocurre en situación de equilibrio estático, es decir, cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}_1=0} .
Solución para las condiciones iniciales dadas
Para poner la ecuación (14) en una forma mas reconocible, usamos la distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} para describir la posición de la masa 1 (ver figura de la derecha)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1(t) = x_1^{eq} + s(t) = \dfrac{m_2g}{k} \longrightarrow \dot{x}_1(t) = \dot{s}(t) \longrightarrow \ddot{x}_1(t) = \ddot{s}(t). }
Sustituyendo estas expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}_1} en la ecuación (14) obtenemos la ecuación diferencial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{s} = -\dfrac{k}{m_1+m_2}s }
Esta ecuación tiene la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{s} = -\omega_0^2s, \qquad \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m_1+m_2}}. }
Corresponde a un movimiento armónico simple con período
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{2\pi}{w_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_1+m_2}{k}}. }
La solución general es de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = A\cos(\omega_0t) + B\,\mathrm{sen}(\omega_0t). }
Las constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} hay que determinarlas a partir de las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1(0) = \dfrac{m_2g}{k} \longrightarrow s(0) = 0, \qquad \dot{x}_1(0) = v_0 \longrightarrow \dot{s}(0) = v_0. }
Aplicando estas condiciones obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} s(0) = 0\\ s(0) = A \end{array} \right\} \longrightarrow A = 0.\\ \left. \begin{array}{l} \dot{s}(0) = v_0\\ \dot{s}(0) = B\omega_0 \end{array} \right\} \longrightarrow B = v_0/\omega_0. \end{array} }
Por tanto, el movimiento de la masa 1 queda descrito por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = \dfrac{v_0}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t) \longrightarrow x_1(t) = \dfrac{m_2g}{k} + \dfrac{v_0}{\omega_0}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t) }
El movimiento de la masa 2 también queda determinado al conocer Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1(t)} .
