Enunciado
En el sistema de la figura, ambos bloques están en reposo cuando se aplica la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F} , ¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza para que el bloque de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} permanezca estacionario respecto a la cuña? Todas las superficies son lisas.
Solución
Para que la masa se mantenga estacionaria respecto a la cuña debe tener en todo instante la misma velocidad. Dado que ambas parten del reposo, para que esto ocurra la aceleración de las dos masas debe ser la misma en cada instante.
Las fuerzas que actúan sobre cada masa son
Masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F} = F\,\vec{\imath} \\ \\ M\,\vec{g} = -Mg\,\vec{\jmath} \\ \\ \vec{\Phi}_M = \Phi_M\,\vec{\jmath} \\ \\ \vec{F}_{m\to M} = -F_{m\to M}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - F_{m\to M}\cos\alpha\,\vec{\jmath} \end{array} }
Masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m\,\vec{g} = -mg\,\vec{\jmath} \\ \\ \vec{F}_{M\to m} = -\vec{F}_{m\to M}= F_{m\to M}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + F_{m\to M}\cos\alpha\,\vec{\jmath} \end{array} }
Hemos utilizado la Tercera Ley de Newton para establecer que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{M\to m} = -\vec{F}_{m\to M} }
Las dos masas se mueven con la misma aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = a\,\vec{\imath} } . Aplicamos la Segunda Ley de Newton a cada una de ellas. Para la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M } tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\,\vec{a} = \vec{F} + M\,\vec{g} + \vec{\Phi}_M + \vec{F}_{m\to M} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (X):\qquad Ma = F - F_{m\to M}\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ (Y):\qquad \Phi_M = Mg + F_{m\to M}\cos\alpha \end{array} \right. }
Para la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m } tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,\vec{a} = m\,\vec{g} + \vec{F}_{M\to m} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (X):\qquad ma = F_{m\to M}\,\mathrm{sen}\,\alpha \\ (Y):\qquad F_{m\to M}\cos\alpha = mg \end{array} \right. }
De las dos últimos expresiones obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{m\to M} = \dfrac{mg}{\cos\alpha}\qquad\qquad a = g\,\tan{\alpha} }
Sumando las dos ecuaciones para el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X } obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = (M+m)\,a = (M+m)\,g\tan\alpha }
