Masa sobre una cuña con la misma aceleración

Enunciado

En el sistema de la figura, ambos bloques están en reposo cuando se aplica la fuerza $F$, ¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza para que el bloque de masa $m$ permanezca estacionario respecto a la cuña? Todas las superficies son lisas.

Solución

Para que la masa $m$ se mantenga estacionaria respecto a la cuña debe tener en todo instante la misma velocidad. Dado que ambas parten del reposo, para que esto ocurra la aceleración de las dos masas debe ser la misma en cada instante.

Las fuerzas que actúan sobre cada masa son

Masa $M$

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}\\\\M\,{\vec {g}}=-Mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{M}=\Phi _{M}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{m\to M}=-F_{m\to M}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}-F_{m\to M}\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Masa $m$

${\begin{array}{l}m\,{\vec {g}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{M\to m}=-{\vec {F}}_{m\to M}=F_{m\to M}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+F_{m\to M}\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Hemos utilizado la Tercera Ley de Newton para establecer que ${\vec {F}}_{M\to m}=-{\vec {F}}_{m\to M}$

Las dos masas se mueven con la misma aceleración ${\vec {a}}=a\,{\vec {\imath }}$. Aplicamos la Segunda Ley de Newton a cada una de ellas. Para la masa $M$ tenemos

$M\,{\vec {a}}={\vec {F}}+M\,{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}_{M}+{\vec {F}}_{m\to M}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{l}(X):\qquad Ma=F-F_{m\to M}\,\mathrm {sen} \,\alpha \\(Y):\qquad \Phi _{M}=Mg+F_{m\to M}\cos \alpha \end{array}}\right.$

Para la masa $m$ tenemos

$m\,{\vec {a}}=m\,{\vec {g}}+{\vec {F}}_{M\to m}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{l}(X):\qquad ma=F_{m\to M}\,\mathrm {sen} \,\alpha \\(Y):\qquad F_{m\to M}\cos \alpha =mg\end{array}}\right.$

De las dos últimos expresiones obtenemos

$F_{m\to M}={\dfrac {mg}{\cos \alpha }}\qquad \qquad a=g\,\tan {\alpha }$

Sumando las dos ecuaciones para el eje $X$ obtenemos

$F=(M+m)\,a=(M+m)\,g\tan \alpha$