Masa colgando de dos cuerdas (GIC)

Enunciado

Una masa $m$ cuelga del conjunto de cuerdas ideales sin masas como se indica en la figura. Los datos del problema son las longitudes $a$ y $b$ y el ángulo $\alpha$. Si el sistema está en equilibrio, determina la tensión en las tres cuerdas.

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y sobre el punto $A$. Escogemos las direcciones de los ejes $X$ e $Y$ como se indica en la figura. Las fuerzas sobre la masa son

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-mg\,{\vec {\jmath }},\\\\{\vec {T}}_{m}=T_{m}\,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Las fuerzas sobre el punto $A$ son

${\begin{array}{l}{\vec {T}}_{A}=-T_{m}\,{\vec {\jmath }},\\\\{\vec {T}}_{B}=T_{B}\,(\cos \beta \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\beta \,{\vec {\jmath }}),\\\\{\vec {T}}_{C}=T_{C}\,(-\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}).\end{array}}$

Para escribir ${\vec {T}}_{A}$ hemos usado que en una cuerda sin masa la tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. Por tanto ${\vec {T}}_{A}=-{\vec {T}}_{m}$.

Hay 3 incógnitas en las expresiones de las fuerzas: $\{T_{m},T_{B},T_{C}\}$. El ángulo $\beta$ no es una incógnita, pues puede calcularse a partir del ángulo $\alpha$ y las longitudes de los lados $a$ y $b$, como vemos a continuación.

Resolución del triángulo

Utilizando el teorema del seno obtenemos el ángulo $\beta$

${\dfrac {c}{\mathrm {sen} \,\alpha }}={\dfrac {b}{\mathrm {sen} \,\beta }}\Longrightarrow \mathrm {sen} \,\beta ={\dfrac {b}{c}}\,\mathrm {sen} \,\alpha$

Y usando el teorema del coseno obtenemos $c$

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }}.$

Entonces el ángulo $\beta$ vale

$\beta =\mathrm {arcsen} \,\left({\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }}}\,\mathrm {sen} \,\alpha \right)$

En lo que sigue usaremos $\beta$, sabiendo que si queremos calcular su valor hemos de usar esta expresión

Eqquilibrio

Para que la masa esté en equilibrio debe cumplirse

${\vec {P}}+{\vec {T}}_{A}={\vec {0}}\Longrightarrow T_{m}=mg$

Hemos sustituido las expresiones de las fuerzas para obtener este valor.

Para obtener la condición de equilibrio de las fuerzas en $A$ imaginamos que situamos en ese punto una masa muy pequeña $m_{a}$. La condición de equilibrio sería

$m_{a}{\vec {g}}+{\vec {T}}_{A}+{\vec {T}}_{B}+{\vec {T}}_{C}={\vec {0}}.$

Ahora hacemos el límite $m_{A}\to 0$. Entonces la condición de equilibrio queda

${\vec {T}}_{A}+{\vec {T}}_{B}+{\vec {T}}_{C}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &T_{B}\cos \beta -T_{C}\cos \alpha =0,&(1)\\&&\\Y)&\to &T_{B}\,\mathrm {sen} \,\beta +T_{C}\,\mathrm {sen} \,\alpha =T_{m}=mg.&(2)\end{array}}\right.$

Para resolver este sistema, donde las incógnitas son $T_{B}$ y $T_{C}$ operamos como sigue. Multiplicamos la ecuación (1) por$\mathrm {sen} \,\alpha$ y la ecuación (2) por $cos\alpha$ y las sumamos

$(1)\,\mathrm {sen} \,\alpha +(2)\cos \alpha \to T_{B}(\,\mathrm {sen} \,\alpha \cos \beta +\mathrm {sen} \,\beta \cos \alpha )=mg\cos \alpha .$

Entonces

$T_{B}={\dfrac {mg\cos \alpha }{\mathrm {sen} \,\alpha \cos \beta +\mathrm {sen} \,\beta \cos \alpha }}={\dfrac {mg\cos \alpha }{\mathrm {sen} \,(\alpha +\beta )}}$

Sustituyendo en (1) tenemos

$T_{C}={\dfrac {mg\cos \beta }{\mathrm {sen} \,(\alpha +\beta )}}$