Enunciado
Una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} cuelga del conjunto de cuerdas ideales sin masas como se indica en la figura. Los datos del problema son las longitudes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} y el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} . Si el sistema está en equilibrio, determina la tensión en las tres cuerdas.
Solución
Diagrama de fuerzas
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Escogemos las direcciones de los ejes e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} como se indica en la figura. Las fuerzas sobre la masa son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\ \\ \vec{T}_m = T_m\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Las fuerzas sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{T}_A = -T_m\,\vec{\jmath},\\ \\ \vec{T}_B = T_B\,(\cos\beta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}),\\ \\ \vec{T}_C = T_C\,(-\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}). \end{array} }
Para escribir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_A} hemos usado que en una cuerda sin masa la tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. Por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_A = -\vec{T}_m} .
Hay 3 incógnitas en las expresiones de las fuerzas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{T_m, T_B, T_C\}} . El ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} no es una incógnita, pues puede calcularse a partir del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha} y las longitudes de los lados Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} , como vemos a continuación.
Resolución del triángulo
Utilizando el teorema del seno obtenemos el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{c}{\mathrm{sen}\,\alpha} = \dfrac{b}{\mathrm{sen}\,\beta} \Longrightarrow \mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\alpha }
Y usando el teorema del coseno obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}. }
Entonces el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta } vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta = \mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}}\,\mathrm{sen}\,\alpha\right) }
En lo que sigue usaremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} , sabiendo que si queremos calcular su valor hemos de usar esta expresión
Eqquilibrio
Para que la masa esté en equilibrio debe cumplirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P} + \vec{T}_A = \vec{0} \Longrightarrow T_m = mg }
Hemos sustituido las expresiones de las fuerzas para obtener este valor.
Para obtener la condición de equilibrio de las fuerzas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} imaginamos que situamos en ese punto una masa muy pequeña Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_a} . La condición de equilibrio sería
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_a\vec{g} + \vec{T}_A + \vec{T}_B + \vec{T}_C = \vec{0}. }
Ahora hacemos el límite Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_A\to 0} . Entonces la condición de equilibrio queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_A + \vec{T}_B + \vec{T}_C = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} X) & \to & T_B\cos\beta - T_C\cos\alpha = 0, & (1)\\ &&\\ Y) & \to & T_B\,\mathrm{sen}\,\beta + T_C\,\mathrm{sen}\,\alpha= T_m = mg. & (2) \end{array} \right. }
Para resolver este sistema, donde las incógnitas son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_C} operamos como sigue. Multiplicamos la ecuación (1) porError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\alpha } y la ecuación (2) por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle cos\alpha} y las sumamos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1)\,\mathrm{sen}\,\alpha + (2)\cos\alpha \to T_B(\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \mathrm{sen}\,\beta\cos\alpha) = mg\cos\alpha. }
Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = \dfrac{mg\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \mathrm{sen}\,\beta\cos\alpha} = \dfrac{mg\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,(\alpha+\beta)} }
Sustituyendo en (1) tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_C = \dfrac{mg\cos\beta}{\mathrm{sen}\,(\alpha+\beta)} }
