Una masa cuelga del conjunto de cuerdas ideales sin masas como se indica en la figura. Los datos del problema son las longitudes y y el ángulo . Si el sistema está en equilibrio, determina la tensión en las tres cuerdas.
Solución
Diagrama de fuerzas
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y sobre el punto . Escogemos las direcciones de los ejes e como se indica en la figura. Las fuerzas sobre la masa son
Las fuerzas sobre el punto son
Para escribir hemos usado que en una cuerda sin masa la tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. Por tanto .
Hay 3 incógnitas en las expresiones de las fuerzas: . El ángulo no es una incógnita, pues puede calcularse a partir del ángulo y las longitudes de los lados y , como vemos a continuación.
Resolución del triángulo
Utilizando el teorema del seno obtenemos el ángulo
Y usando el teorema del coseno obtenemos
Entonces el ángulo vale
En lo que sigue usaremos , sabiendo que si queremos calcular su valor hemos de usar esta expresión
Eqquilibrio
Para que la masa esté en equilibrio debe cumplirse
Hemos sustituido las expresiones de las fuerzas para obtener este valor.
Para obtener la condición de equilibrio de las fuerzas en imaginamos que situamos en ese punto una masa muy pequeña . La condición de equilibrio sería
Ahora hacemos el límite . Entonces la condición de equilibrio queda
Para resolver este sistema, donde las incógnitas son y operamos como sigue. Multiplicamos la ecuación (1) por y la ecuación (2) por y las sumamos