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Masa colgando de dos cuerdas (GIC)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una masa m cuelga del conjunto de cuerdas ideales sin masas como se indica en la figura. Los datos del problema son las longitudes a y b y el ángulo α. Si el sistema está en equilibrio, determina la tensión en las tres cuerdas.

2 Solución

2.1 Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y sobre el punto A. Escogemos las direcciones de los ejes X e Y como se indica en la figura. Las fuerzas sobre la masa son


\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{T}_m = T_m\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Las fuerzas sobre el punto A son


\begin{array}{l}
\vec{T}_A = -T_m\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{T}_B = T_B\,(\cos\beta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}),\\
\\
\vec{T}_C = T_C\,(-\cos\alpha\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}).
\end{array}

Para escribir \vec{T}_A hemos usado que en una cuerda sin masa la tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. Por tanto \vec{T}_A = -\vec{T}_m.

Hay 3 incógnitas en las expresiones de las fuerzas: {Tm,TB,TC}. El ángulo β no es una incógnita, pues puede calcularse a partir del ángulo α y las longitudes de los lados a y b, como vemos a continuación.

2.2 Resolución del triángulo

Utilizando el teorema del seno obtenemos el ángulo β


\dfrac{c}{\mathrm{sen}\,\alpha} = \dfrac{b}{\mathrm{sen}\,\beta}
\Longrightarrow
\mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{b}{c}\,\mathrm{sen}\,\alpha

Y usando el teorema del coseno obtenemos c


c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}.

Entonces el ángulo β vale


\beta = \mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}}\,\mathrm{sen}\,\alpha\right)

En lo que sigue usaremos β, sabiendo que si queremos calcular su valor hemos de usar esta expresión

2.3 Eqquilibrio

Para que la masa esté en equilibrio debe cumplirse


\vec{P} + \vec{T}_A = \vec{0}
\Longrightarrow
T_m = mg

Hemos sustituido las expresiones de las fuerzas para obtener este valor.

Para obtener la condición de equilibrio de las fuerzas en A imaginamos que situamos en ese punto una masa muy pequeña ma. La condición de equilibrio sería


m_a\vec{g} + \vec{T}_A + \vec{T}_B + \vec{T}_C = \vec{0}.

Ahora hacemos el límite m_A\to 0. Entonces la condición de equilibrio queda


\vec{T}_A + \vec{T}_B + \vec{T}_C = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & T_B\cos\beta - T_C\cos\alpha = 0, & (1)\\
&&\\
Y) & \to & T_B\,\mathrm{sen}\,\beta + T_C\,\mathrm{sen}\,\alpha= T_m = mg. & (2)
\end{array}
\right.

Para resolver este sistema, donde las incógnitas son TB y TC operamos como sigue. Multiplicamos la ecuación (1) por\mathrm{sen}\,\alpha y la ecuación (2) por cosα y las sumamos


(1)\,\mathrm{sen}\,\alpha + (2)\cos\alpha 
\to
T_B(\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \mathrm{sen}\,\beta\cos\alpha) = mg\cos\alpha.

Entonces


T_B = \dfrac{mg\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta + \mathrm{sen}\,\beta\cos\alpha}
=
\dfrac{mg\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,(\alpha+\beta)}

Sustituyendo en (1) tenemos


T_C 
=
\dfrac{mg\cos\beta}{\mathrm{sen}\,(\alpha+\beta)}

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