Expresión de un vector, Noviembre 2011 (G.I.C.)

Enunciado

Dado un vector ${\vec {a}}$, se conocen de él los siguientes datos: al proyectar ${\vec {a}}$ ortogonalmente sobre el vector ${\vec {\imath }}$, la componente paralela a ${\vec {\imath }}$ de la proyección vale 1, mientras que la componente perpendicular vale 2; al colocar el origen de ${\vec {a}}$ en el origen de coordenadas, su extremo está en el plano $z=-2$. ¿Cuál de estas expresiones del vector ${\vec {a}}$ es correcta?

1. ${\vec {a}}=2\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}$.
2. ${\vec {a}}=2\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {k}}$.
3. ${\vec {a}}={\vec {\imath }}+2\,{\vec {k}}$.
4. ${\vec {a}}={\vec {\imath }}-2\,{\vec {k}}$.

Solución

La expresión en coordenadas cartesianas del vector ${\vec {a}}$ es

${\vec {a}}=a_{x}\,{\vec {\imath }}+a_{y}\,{\vec {\jmath }}+a_{z}\,{\vec {k}}$

La primera condición que nos da implica que

${\vec {a}}\cdot {\vec {\imath }}=1=a_{x}$

La segunda condición se traduce en

$|{\vec {a}}\times {\vec {\imath }}|=2$

Tenemos

${\vec {a}}\times {\vec {\imath }}=(a_{x}\,{\vec {\imath }}+a_{y}\,{\vec {\jmath }}+a_{z}\,{\vec {k}})\times ({\vec {\imath }})=-a_{y}\,{\vec {k}}+a_{z}\,{\vec {\jmath }}$

La condición sobre el módulo implica que

$a_{y}^{2}+a_{z}^{2}=4$

Por último, si ponemos el origen del vector en el origen de coordenadas y su extremo está en el plano $z=-2$ implica que la componente $a_{z}$ es igual a -2

$a_{z}=-2$

De las tres expresiones obtenidas vemos que el vector ${\vec {a}}$ en coordenadas cartesianas es

${\vec {a}}={\vec {\imath }}-2\,{\vec {k}}$