Punto moviéndose sobre una parábola (G.I.A.)

Enunciado

Un punto inicialmente en reposo en la posición $x=a$ , $y=b$ ,

describe la parábola $\ \Gamma :y^{2}=(b^{2}/a)x$ . Se conoce la componente $y$ de la aceleración: $a_{y}=-k^{2}y$ , con $k=cte$ . Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

Solución

Podemos usar como parámetro de la curva la propia coordenada $y$ . De este modo el vector que recorre los puntos de la curva es

{\vec {r}}(t)={\Big [}{\dfrac {a}{b^{2}}}y(t)^{2},y(t),0{\Big ]}

La derivada y la aceleración son

{\begin{array}{l}{\vec {v}}(t)={\dot {\vec {r}}}(t)={\Big [}{\dfrac {2a}{b^{2}}}y{\dot {y}},{\dot {y}},0{\Big ]}\\\\{\vec {a}}(t)={\dot {\vec {v}}}(t)={\Big [}{\dfrac {2a}{b^{2}}}({\dot {y}}^{2}+y{\ddot {y}}),{\ddot {y}},0{\Big ]}\end{array}}

El enunciado nos da la componente $a_{y}$ de la aceleración. Igualando a la expresión obtenida obtenemos la ecuación diferencial

{\ddot {y}}=-k^{2}y

Puede comprobarse que las funciones $\cos(kt)$ y $\,\mathrm {sen} \,(kt)$ son soluciones de esta ecuación. La solución más general puede escribirse de la forma

y(t)=A\cos(kt)+B\,\mathrm {sen} \,(kt)

donde $A$ y $B$ son dos constantes. Su valor se determina a partir de las condiciones iniciales. El enunciado nos da la posición inicial y dice que se parte del reposo, es decir

{\begin{array}{l}{\vec {r}}(0)=[a,b,0]\to y(0)=b\\\\{\vec {v}}(0)=[0,0,0]\to {\dot {y}}(0)=0\end{array}}

La derivada de la solución general es

{\dot {y}}(t)=-Ak\,\mathrm {sen} \,(kt)+Bk\cos(kt)

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones

{\begin{array}{l}y(0)=b\to B=b\\\\{\dot {y}}(0)=0\to A=0\end{array}}

Por lo que la solución final es

y(t)=b\cos(kt)

Esto quiere decir que el valor de $y$ oscila en el intervalo $[-b,b]$ con un período $T=2\pi /k$ . El vector de posición, la velocidad y la derivada se escriben