Dos partículas unidas por una barra (Sep. 2018 G.I.C.)

Enunciado

Las partículas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , ambas con masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , están unidas por una barra rígida de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L} y masa despreciable. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es el punto medio de la barra. La partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} está obligada a moverse en el eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} , como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} . La partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se mueve con velocidad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0 = v_0\,\vec{\imath}} . En el instante inicial la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se encontraba en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y $\theta (0)=0$. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

1. Encuentra la expresión de los vectores de posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_C} en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} .
2. Si el ángulo varía como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\dfrac{v_0}{L}t} , calcula la velocidad y aceleración de las partículas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y del centro de masas del sistema.
3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_A} aplicada sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1=\pi L/2v_0} .
5. Supongamos ahora que la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} es constante e igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2v_0} . Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} para que esto sea posible.

Solución

Vectores de posición

Como la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se mueve siempre sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} con velocidad uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} , y empieza su movimiento en el origen tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_A = \overrightarrow{OA} = v_0t\,\vec{\imath}. }

El vector de posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_B = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}. }

Del dibujo vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB} = 2L\cos\theta\,\vec{\imath} + 2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}. }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_B = \overrightarrow{OB} = (v_0t + 2L\cos\theta)\,\vec{\imath} + 2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath} }

Para el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_C = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} = (v_0t + L\cos\theta)\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath} }

Velocidad y aceleración con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)} dada

En este caso tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = \dfrac{v_0}{L}t \Longrightarrow \dot{\theta} = \dfrac{v_0}{L} }

Las velocidades de las partículas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_A = \dot{\vec{r}}_A = v_0\,\vec{\imath}\\ \\ \vec{v}_B = \dot{\vec{r}}_B = (v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + 2L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath} = \left(v_0 -2v_0\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\imath} + 2v_0\,\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} \end{array} }

La barra no tiene masa. Como las dos masas son iguales, por simetría el Centro de Masas coincide con el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . Su velocidad es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C = \dot{\vec{r}}_C = (v_0 -L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath} = \left(v_0 - v_0\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\imath} + v_0\,\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} }

Derivamos otra vez respecto del tiempo para obtener las aceleraciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}_A = \dot{\vec{v}}_A = \vec{0}\\ \\ \vec{a}_B = \dot{\vec{v}}_B = -2v_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - 2v_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\vec{\jmath} = -\left(\dfrac{2v_0^2}{L}\right)\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath} - \left(\dfrac{2v_0^2}{L}\right)\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} \\ \\ \vec{a}_C = \dot{\vec{v}}_C = -v_0\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath} - v_0\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\vec{\jmath} = -\left(\dfrac{v_0^2}{L}\right)\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath} - \left(\dfrac{v_0^2}{L}\right)\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\jmath} \end{array} }

Fuerzas sobre el sistema

La imagen muestra las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Las fuerzas entre la barra y las partículas son internas y no afectan al movimiento. El Teorema de la Cantidad de Movimiento (T.C.M.) dice

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\vec{a}_{CM} = \vec{P}_A + \vec{P}_B + \vec{N}_A + \vec{F}_A }

La masa total del sistema es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M =2m} . El Centro de Masas es el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . Las fuerzas pueden expresarse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_A = -mg\,\vec{\jmath},\\ \vec{P}_B = -mg\,\vec{\jmath},\\ \vec{N}_A = N_A\,\vec{\jmath},\\ \vec{F}_A = F_0\,\vec{\imath}. \end{array} }

Las incógnitas son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0} . A partir de T.C.M. tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} X) & \to & -\dfrac{2mv_0^2}{L}\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right) = F_0,\\ Y) & \to & -\dfrac{2mv_0^2}{L}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right) = -2mg + N_A\\ \end{array} }

De aquí obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_A} . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F}_A = -\dfrac{2mv_0^2}{L}\cos\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{N}_A = \left(2mg - \dfrac{2mv_0^2}{L}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{v_0}{L}t\right)\right)\,\vec{\jmath}. \end{array} }

Energía cinética y momento cinético

En el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1 = \pi L/2v_0 } tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t_1) = \pi/2} . Entonces los vectores de posición y velocidad de las partículas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{r}_A(t_1) = \dfrac{\pi L}{2}\,\vec{\imath} & \quad & \vec{v}_A(t_1) = v_0\,\vec{\imath}\\ \\ \vec{r}_B(t_1) = \dfrac{\pi L}{2}\,\vec{\imath} + 2L\,\vec{\jmath} & \quad & \vec{v}_B(t_1) = -v_0\,\vec{\imath} \end{array} }

La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de las dos partículas (la barra no tiene masa)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_c(t_1) = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_A(t_1)|^2 + \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_B(t1)|^2 = mv_0^2. }

El momento cinético del sistema respecto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es la suma del momento de las dos partículas (de nuevo, la barra no tiene masa)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O(t_1) = \vec{L}_O^A + \vec{L}_O^B = \overrightarrow{OA}\times(m\vec{v}_A) + \overrightarrow{OB}\times(m\vec{v}_B) = \vec{L}_O(t_1) = 2mLv_0\,\vec{k} }

El primer producto vectorial es cero, pues los dos vectores son paralelos.

Ecuación diferencial

La velocidad genérica del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_B = (v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath} + 2L\dot{\theta}\,\cos\theta\,\vec{\jmath} }

La condición del enunciado es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = 2v_0 \Longrightarrow 2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = -v_0 }

Esta es una ecuación diferencial de variables separables para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = -v_0 \Longrightarrow \mathrm{sen}\,\mathrm{d}\theta = -\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \int\mathrm{sen}\,\mathrm{d}\theta = -\int\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t \Longrightarrow \cos\theta = \dfrac{v_0}{2L}\,t + C }

Para calcular el valor de la constante de integración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} imponemos la condición inicial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0) = 0 \Longrightarrow \cos(0) = 1 = C }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t) = \arccos\left(1+\dfrac{v_0}{2L}t\right) }