Parámetro arco de una hélice (G.I.A.)

Enunciado

Sea la hélice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma} descrita en un sistema de referencia cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ} por las siguientes ecuaciones paramétricas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\,:\,\vec{r} = \vec{r}(\lambda) \left\{ \begin{array}{l} x(\lambda) = a \cos\lambda\\ y(\lambda) = a \,\mathrm{sen}\,\lambda\\ z(\lambda) = h \lambda \end{array} \right. }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} son constantes conocidas.

Determina la longitud recorrida sobre la hélice (parámetro arco) en función del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} .
Obtén los vectores del triedro intrínseco en cada punto de dicha curva.
Calcula su radio de curvatura.

Solución

Distancia recorrida

Podemos calcular la distancia recorrida sobre la hélice sumando los módulos de los Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} } obtenidos al variar el parámetro una cantidad infinitesimal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\lambda } . La expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r} = \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right)\,\mathrm{d}\lambda }

Derivando el vector tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right) = -a\cos\lambda\,\vec{\imath} + +a\,\mathrm{sen}\,\lambda\,\vec{\jmath} + h\,\vec{k} }

La distancia recorrida en este paso infinitesimal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}s=|\mathrm{d}\vec{r}|=\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right| \,\mathrm{d}\lambda = \mathrm{d}\lambda\,\sqrt{a^2\cos^2\lambda + a^2\mathrm{sen}^2\lambda + h^2} = \mathrm{d}\lambda\,\sqrt{a^2+h^2} }

Si empezamos a contar la distancia recorrida en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=0 } la distancia para un valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\limits_{0}^{s(\lambda)}\mathrm{d}s = \int\limits_{0}^{s(\lambda)}|\mathrm{d}\vec{r}| = \int\limits_0^{\lambda}\sqrt{a^2+h^2}\,\mathrm{d}\lambda }

Integrando obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(\lambda) = \lambda\,\sqrt{a^2+h^2} }

La distancia recorrida sobre la curva recibe el nombre de parámetro arco. Puede utilizarse también para parametrizar la curva.

Triedro intrínseco

Calculamos el triedro intrínseco en cada punto de la curva usando las expresiones que dependen sólo de la parametrización de la curva, no de las variables cinemáticas ( velocidad y aceleración ).

El vector tangente es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{T}(\lambda) = \dfrac{\displaystyle\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}}{\displaystyle\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\lambda}\right|} = -\dfrac{a\,\mathrm{sen}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\imath} + \dfrac{a\cos\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\jmath} + \dfrac{h}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{k} }

El vector normal se define en términos de la derivada del vector tangente respecto al parámetro.

${\overrightarrow {N}}(\lambda )={\dfrac {\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}}{\displaystyle \left|{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {T}}}{\mathrm {d} \lambda }}\right|}}$

Derivando el vector tangente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}= -\dfrac{a\cos\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\imath} - \dfrac{a\,\mathrm{sen}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\jmath} \dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}} \left(-\cos\lambda\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\lambda\,\vec{\jmath}\right) }

El módulo de este vector es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda}\right| =\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}} }

Y el vector normal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{N}(\lambda) = -\cos\lambda\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\lambda\,\vec{\jmath} }

El vector binormal se define como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{B}(\lambda) = \overrightarrow{T}\times\overrightarrow{N} = \dfrac{h\,\mathrm{sen}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\imath}- \dfrac{h\,\mathrm{cos}\,\lambda}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{\jmath} +\dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}\,\vec{k} }

Curvatura

La curvatura es el módulo de la derivada del vector tangente, cuando este está expresado en términos del parámetro arco. Sin embargo, no tenemos el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{T} } en términos del parámetro arco, sino del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } . Tenemos que usar la regla de la cadena para encontrar la derivada en función del parámetro natural.Esto es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa = \left| \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s} \right| = \left| \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda} \right| \,\left|\dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}s} \right| }

A partir de la última fórmula del primer apartado, podemos despejar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } a partir del parámetro arco

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \dfrac{s}{\sqrt{a^2+h^2}} }

Y derivamos aquí

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}s}= \dfrac{1}{\sqrt{a^2+h^2}} }

Con lo cual la curvatura es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \kappa = \left| \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s} \right| = \left| \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}\lambda} \right| \,\left|\dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}s} \right| = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}\, \dfrac{1}{\sqrt{a^2+h^2}} = \dfrac{a}{a^2+h^2} }

El radio de curvatura es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa} = \dfrac{1}{\kappa} = \dfrac{{a^2+h^2}}{a} }

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