Manivela y biela alargada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una barra homogénea (sólido "0") de longitud ${\sqrt {2}}L$ tiene un extremo articulado en el punto fijo $O$. En el otro extremo, $A$, se articula otra barra homogénea de longitud $2{\sqrt {2}}L$ (sólido "2"). El punto medio de esta barra se articula a su vez en un pasador (punto $B$), de modo que este punto de la barra se mueve sobre el eje $O_{1}X_{1}$. La barra "0" gira alrededor del eje $O_{1}Z_{1}$ con velocidad angular uniforme $\Omega$. Todas las magnitudes físicas que se piden corresponden al instante que se muestra en la figura.

1. Localiza gráfica y analíticamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos que se pueden definir en el sistema.
2. Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos. Calcula ${\vec {v}}_{21}^{\,C}$.
3. Calcula la derivada temporal de la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $B$.

Solución

Análisis previo

Del enunciado y la figura podemos deducir la siguiente información cinemática

1. Todos los movimientos son planos, por lo que todos los vectores de rotación son paralelos al vector ${\vec {k}}$.
2. El punto $O_{1}$ de la barra "0" es un punto fijo siempre: ${\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}$ y ${\vec {a}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}$.
3. Las barras "2" y "0" están articuladas en el punto $A$ en todo instante: ${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}$ y ${\vec {a}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}$.
4. La velocidad de rotación absoluta de la barra "0" es constante: ${\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}$ y ${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}}$.
5. El punto $B$ de la barra "2" se mueve siempre sobre el eje $O_{1}X_{1}$: ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\parallel {\vec {\imath }}_{1}$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,B}\parallel {\vec {\imath }}_{1}$.

Localización de los C.I.R.

Del análisis previo deducimos inmediatamente

${\begin{array}{l}I_{01}\equiv O_{1}\to {\overrightarrow {O_{1}I}}_{01}={\vec {0}},\\\\O_{20}\equiv A\to {\overrightarrow {O_{1}I}}_{20}={\overrightarrow {O_{1}A}}=L\,{\vec {\imath }}_{1}+L\,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

Para encontrar $I_{21}$ usamos primero que ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\parallel {\vec {\imath }}_{1}$. Entonces $I_{21}$ debe estar en la línea perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$ trazada por $B$. Por otro lado, por el Teorema de los Tres Centros, $I_{21}$ debe estar también el la línea que une $I_{01}$ y $I_{20}$. El corte de las dos líneas da la posición de $I_{21}$. Como se observa en la figura tenemos

${\overrightarrow {O_{1}I}}_{21}=2L\,{\vec {\imath }}_{1}+2L\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Hemos usado que todos los triángulos son rectángulos e isósceles.

Reducciones cinemáticas

La clave para resolver este apartado es que podemos calcular fácilmente la reducción cinemática {01} en el punto $O_{1}$. A partir de ahí, podemos calcular ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$ usando composición de velocidades y usamos el hecho de que conocemos la dirección de ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$.

Movimiento {01}

Del análisis previo obtenemos inmediatamente

${\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}},\qquad {\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}}.$

Movimiento {20}

Del análisis previo obtenemos ${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}$, pero no sabemos el vector rotación. Sólo sabemos que podemos escribirlo como

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}.$

Movimiento {21}

En este punto sólo podemos escribir esto

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=v\,{\vec {\imath }}_{1},\qquad {\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}.$

Usando la composición $\{21\}=\{20\}+\{01\}$ podemos calcular ${\vec {v}}_{21}^{\,A}$

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,A}&={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A}=-L\Omega \,{\vec {\imath }}_{1}+L\Omega \,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&{\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\\&\\&{\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {v}}^{\,O_{1}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=-L\Omega \,{\vec {\imath }}_{1}+L\Omega \,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

El vector ${\vec {v}}_{21}^{\,B}$ puede calcularse también usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,B}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}=L(\omega _{21}-\Omega )\,{\vec {\imath }}_{1}+L(\omega _{21}+\Omega )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}=-L\Omega \,{\vec {\imath }}_{1}+L\Omega \,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}=(\omega _{21}{\vec {k}})\times (L\,{\vec {\imath }}_{1}-L\,{\vec {\jmath }}_{1})=L\omega _{21}\,{\vec {\imath }}_{1}+L\omega _{21}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

La componente en ${\vec {\jmath }}_{1}$ tiene que ser nula, por tanto

$\omega _{21}=-\Omega$

Y podemos obtener ${\vec {\omega }}_{20}$ usando la ley de composiciones de velocidades angulares

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\Longrightarrow {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=-2\Omega \,{\vec {k}}.$

Por tanto, las reducciones cinemáticas pedidas son

${\begin{array}{lll}\{01\}:&{\vec {\omega }}_{01}=\Omega \,{\vec {k}},&{\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}\\\\\{20\}:&{\vec {\omega }}_{20}=-2\Omega \,{\vec {k}},&{\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\\\\\{21\}:&{\vec {\omega }}_{21}=-\Omega \,{\vec {k}},&{\vec {v}}_{21}^{\,B}=-2L\Omega \,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

La velocidad absoluta en $C$ la calculamos como

${\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{21}^{\,B}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BC}}=-3L\Omega \,{\vec {\imath }}_{1}-2L\Omega \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Hemos usado ${\overrightarrow {BA}}=L\,{\vec {\imath }}_{1}-L\Omega ,{\vec {\jmath }}_{1}$.

Derivada de la reducción cinemática {21}

Este apartado se resuelve de manera similar al anterior, pero ahora con las leyes de composición de aceleraciones.

El enunciado nos dice que $\Omega$ es constante, por tanto

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.$

Del análisis previo tenemos ${\vec {a}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}$ y ${\vec {a}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}$. Usando el Teorema de Coriolis en $A$

${\begin{array}{ll}{\vec {a}}_{21}^{\,A}&={\vec {a}}_{20}^{\,A}+{\vec {a}}_{01}^{\,A}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}=-L\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{1}-L\Omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&{\vec {a}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\\&\\&{\vec {a}}_{01}^{\,A}={\vec {a}}_{01}^{\,O_{1}}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {O_{1}A}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}{\overrightarrow {O_{1}A}}=-L\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{1}-L\Omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&{\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\end{array}}$

Escribimos la aceleración angular absoluta como

${\vec {\alpha }}_{21}=\alpha _{21}\,{\vec {k}}.$

Aplicando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento plano {21} tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {a}}_{21}^{\,B}&={\vec {a}}_{21}^{\,A}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}{\overrightarrow {AB}}=L\,(\alpha _{21}-2\Omega ^{2})\,{\vec {\imath }}_{1}+L\alpha _{21}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&{\vec {a}}_{21}^{\,A}=-L\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{1}-L\Omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}=L\alpha _{21}\,{\vec {\imath }}_{1}+L\alpha _{21}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&\\&|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}{\overrightarrow {AB}}=L\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{1}-L\Omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Como la componente en ${\vec {\jmath }}_{1}$ debe anularse, tenemos

$\alpha _{21}=0$

Entonces

${\vec {a}}_{21}^{\,B}=-2L\Omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{1},\qquad {\vec {\alpha }}_{21}={\vec {0}}.$