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Manivela y biela alargada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una barra homogénea (sólido "0") de longitud \sqrt{2}L tiene un extremo articulado en el punto fijo O. En el otro extremo, A, se articula otra barra homogénea de longitud 2\sqrt{2}L (sólido "2"). El punto medio de esta barra se articula a su vez en un pasador (punto B), de modo que este punto de la barra se mueve sobre el eje O1X1. La barra "0" gira alrededor del eje O1Z1 con velocidad angular uniforme Ω. Todas las magnitudes físicas que se piden corresponden al instante que se muestra en la figura.

  1. Localiza gráfica y analíticamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos que se pueden definir en el sistema.
  2. Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos. Calcula \vec{v}^{\,C}_{21}.
  3. Calcula la derivada temporal de la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto B.

2 Solución

2.1 Análisis previo

Del enunciado y la figura podemos deducir la siguiente información cinemática

  1. Todos los movimientos son planos, por lo que todos los vectores de rotación son paralelos al vector \vec{k}.
  2. El punto O1 de la barra "0" es un punto fijo siempre: \vec{v}^{\,O_1}_{01}=\vec{0} y \vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}.
  3. Las barras "2" y "0" están articuladas en el punto A en todo instante: \vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0} y \vec{a}^{\,A}_{20}=\vec{0}.
  4. La velocidad de rotación absoluta de la barra "0" es constante: \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k} y \vec{\alpha}_{01}=\vec{0}.
  5. El punto B de la barra "2" se mueve siempre sobre el eje O1X1: \vec{v}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1 y \vec{a}^{\,B}_{21} \parallel \vec{\imath}_1.

2.2 Localización de los C.I.R.

Del análisis previo deducimos inmediatamente


\begin{array}{l}
I_{01}\equiv O_1  \to \overrightarrow{O_1I}_{01} =  \vec{0},\\
\\
O_{20}\equiv A \to \overrightarrow{O_1I}_{20} = \overrightarrow{O_1A} = L\,\vec{\imath}_1 + L\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}

Para encontrar I21 usamos primero que \vec{v}^{\,B}_{21}\parallel\vec{\imath}_1. Entonces I21 debe estar en la línea perpendicular a \vec{v}^{\,B}_{21} trazada por B. Por otro lado, por el Teorema de los Tres Centros, I21 debe estar también el la línea que une I01 y I20. El corte de las dos líneas da la posición de I21. Como se observa en la figura tenemos


\overrightarrow{O_1I}_{21} =2L\,\vec{\imath}_1 + 2L\,\vec{\jmath}_1.

Hemos usado que todos los triángulos son rectángulos e isósceles.

2.3 Reducciones cinemáticas

La clave para resolver este apartado es que podemos calcular fácilmente la reducción cinemática {01} en el punto O1. A partir de ahí, podemos calcular \vec{v}^{\,A}_{21} usando composición de velocidades y usamos el hecho de que conocemos la dirección de \vec{v}^{\,B}_{21}.

2.3.1 Movimiento {01}

Del análisis previo obtenemos inmediatamente


\vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}.

2.3.2 Movimiento {20}

Del análisis previo obtenemos \vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}, pero no sabemos el vector rotación. Sólo sabemos que podemos escribirlo como


\vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}.

2.3.3 Movimiento {21}

En este punto sólo podemos escribir esto


\vec{v}^{\,B}_{21} = v\,\vec{\imath}_1, \qquad \vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}.

Usando la composición {21} = {20} + {01} podemos calcular \vec{v}^{\,A}_{21}


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,A}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{20}  + \vec{v}^{\,A}_{01}=
-L\Omega\,\vec{\imath}_1 + L\Omega\,\vec{\jmath}_1 \\
& \\
&\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}\\
& \\
&\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O_1} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} =
-L\Omega\,\vec{\imath}_1 + L\Omega\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}

El vector \vec{v}^{\,B}_{21} puede calcularse también usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21}


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21}  + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}
=L(\omega_{21}-\Omega)\,\vec{\imath}_1 + L(\omega_{21}+ \Omega)\,\vec{\jmath}_1
\\
& \\
&\vec{v}^{\,A}_{21} = -L\Omega\,\vec{\imath}_1 + L\Omega\,\vec{\jmath}_1 \\
& \\
&\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB} = (\omega_{21}\vec{k})\times(L\,\vec{\imath}_1-L\,\vec{\jmath}_1)
= L\omega_{21}\,\vec{\imath}_1 + L\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

La componente en \vec{\jmath}_1 tiene que ser nula, por tanto

ω21 = − Ω

Y podemos obtener \vec{\omega}_{20} usando la ley de composiciones de velocidades angulares


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -2\Omega\,\vec{k}.

Por tanto, las reducciones cinemáticas pedidas son


\begin{array}{lll}
\{01\}: & \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\ \\
\{20\}: & \vec{\omega}_{20} = -2\Omega\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}\\ \\
\{21\}: & \vec{\omega}_{21} = -\Omega\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,B}_{21} = -2L\Omega\,\vec{\imath}_1
\end{array}

La velocidad absoluta en C la calculamos como


\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}
= -3L\Omega\,\vec{\imath}_1 - 2L\Omega\,\vec{\jmath}_1

Hemos usado \overrightarrow{BA} = L\,\vec{\imath}_1 - L\Omega,\vec{\jmath}_1.

2.4 Derivada de la reducción cinemática {21}

Este apartado se resuelve de manera similar al anterior, pero ahora con las leyes de composición de aceleraciones.

El enunciado nos dice que Ω es constante, por tanto


\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}.

Del análisis previo tenemos \vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0} y \vec{a}^{\,A}_{20}=\vec{0}. Usando el Teorema de Coriolis en A


\begin{array}{ll}
\vec{a}^{\,A}_{21}&  = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = -L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1\\
&  \\
& \vec{a}^{\,A}_{20} = \vec{0}\\
&\\
& \vec{a}^{\,A}_{01} = \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1A} - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{O_1A} = -L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1\\
&\\
&\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}
\end{array}

Escribimos la aceleración angular absoluta como


\vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}.

Aplicando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento plano {21} tenemos


\begin{array}{ll}
\vec{a}^{\,B}_{21}&  = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{AB} =
L\,(\alpha_{21}-2\Omega^2)\,\vec{\imath}_1 + L\alpha_{21}\,\vec{\jmath}_1\\
&  \\
& \vec{a}^{\,A}_{21} =  -L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1\\
&\\
& \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AB} = L\alpha_{21}\,\vec{\imath}_1 + L\alpha_{21}\,\vec{\jmath}_1\\
&\\
& |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{AB} = L\Omega^2\,\vec{\imath}_1 - L\Omega^2\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

Como la componente en \vec{\jmath}_1 debe anularse, tenemos

α21 = 0

Entonces


\vec{a}^{\,B}_{21} = -2L\Omega^2\,\vec{\imath}_1, \qquad \vec{\alpha}_{21} = \vec{0}.

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