Aro con barra articulada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , rueda sin deslizar sobre el eje $O_{1}X_{1}$. El centro del disco se mueve con rapidez constante $v_{0}$, como se indica en la figura. Una barra (sólido "2") de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R} está articulada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de la circunferencia exterior del disco. El otro extremo de la barra desliza sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1} .

1. Localiza gráficamente los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21} en el instante indicado en la figura. Explica el procedimiento seguido.
2. Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos indicados.
3. Calcula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,D}_{21}} .

Solución

Análisis previo

Del planteamiento del problema podemos deducir los siguientes puntos:

1. Todos los movimientos son planos, por tanto todos los vectores rotación y aceleración angular son perpendiculares al plano del movimiento.
2. EL disco rueda sin deslizar, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{01}=\vec{0}} . Además del enunciado sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C}_{01}=v_0\,\vec{\imath}_1} . Se dice que esta velocidad es constante, por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{01} = \vec{0}} .
3. Los sólidos "0" y "2" están articulados en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} en todo instante, por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{20}=\vec{0}} .
4. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} de la barra desliza desliza siempre sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1} , es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,D}_{21}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,D}_{21}} son siempre paralelas a ese eje.
5. Vamos a necesitar el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BD}} . En la figura del siguiente apartado vemos que el triángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle BED} es rectángulo. Usando el Teorema de Pitágoras tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BD} = \sqrt{3}R\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1} .

Localización de los C.I.R.

Del análisis previo tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{01}=\vec{0}} , por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}\equiv A} .

También sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}} . Entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}\equiv B} .

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,D}_{21}} es siempre paralela al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1} , el CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} debe estar en la línea perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,D}_{21}} trazada por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} . Por otro lado, usando el Teorema de los Tres Centros, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} debe estar en la línea que une Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} . El CIR buscado está en el corte de esas dos líneas.

Aunque no se pedía en el examen, podemos obtener la localización exacta de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} . Como se ve en la figura, la línea que une Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{01}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{20}} forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/4} con la horizontal. Usando el Teorema de Pitágoras, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{ED} = \sqrt{3}R \Longrightarrow \overline{AD} = (1+\sqrt{3})R. }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{DI}_{21} = (1+\sqrt{3})R\,\vec{\jmath}. }

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

A partir del análisis anterior podemos escribir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,C}_{01} = v_0\,\vec{\imath}_1,\qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{0}. }

Usando el Teorema de Chasles

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C} = \vec{v}^{\,A} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC} = \vec{0} + (\omega_{01}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{01}R }

Comparando con el valor dado de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,C}_{01}} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{01} = -\dfrac{v_0}{R} }

Por tanto la reducción cinemática es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{k},\qquad \vec{v}^{\,C}_{01} = v_0\,\vec{\imath}_1. }

También se puede hacer la reducción en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} .

Movimiento {21}

La clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que conocemos la velocidad del movimiento {21} en un punto (el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} ) y la dirección de la velocidad en otro (el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} ). Sabemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}. }

Usando la composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\} = \{20\} + \{01\} }

obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,B}_{01} }

A partir de la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,C}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{BC} = v_0\,\vec{\imath}_1 + \left(-\dfrac{v_0}{R}\,\vec{k}\right)\times(R,\vec{\imath}_1) = v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1. }

Es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,B}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1. }

Por otro lado sabemos la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,D}_{21}} , paralela a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1} . Con el Teorema de Chasles calculamos la velocidad {21} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} a partir de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{v}^{\,D}_{21} &=& \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BD}\\ &&\\ &&\vec{v}^{\,B}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1\\ &&\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BD} = (\omega_{21}\,\vec{k})\times(\sqrt{3}R\,\vec{\imath}_1 -R\,\vec{\jmath}_1) = R\omega_{21}\,\vec{\imath}_1 + \sqrt{3}R\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BD}} lo hemos obtenido usando el Teorema de Pitágoras, como se ve en la figura del apartado anterior. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,D}_{21} = (v_0 + R\omega_{21})\,\vec{\imath}_1 + (-v_0 + \sqrt{3}R\omega_{21})\,\vec{\jmath}_1. }

La componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_1} tiene que ser cero, por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21} = \dfrac{v_0}{\sqrt{3}R}. }

Por tanto, una posible reducción cinemática de este movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,B}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1. }

Movimiento {20}

Usando la composición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{21\} = \{20\} + \{01\} } tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} \Longrightarrow \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{ Hasta el martes no voy a la Escuela. 21} - \vec{\omega}_{01} }

Una posible reducción cinemática de este movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}. }

Aceleraciones

Igual que para la reducción cinemática del movimiento {21}, la clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que podemos conocer la aceleración del movimiento {21} en un punto (el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} ) y la dirección de la aceleración en otro (el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} ).

Del análisis previo sabemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,C}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,D}_{21}\cdot\vec{\jmath}_1=0. }

Además, al ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} constante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} también lo es, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0} }

Usando el Teorema de Coriolis

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,B}_{20} }

Sólo el segundo término es no nulo. Como es un movimiento tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{01} = \vec{a}^{\,C}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{CB} - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{CB} = - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{CB} = -\left(\dfrac{v_0^2}{R^2}\right)\,(R\,\vec{\imath}_1) = -\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1 }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{01} = -\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1 }

Sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,D}_{21}} debe ser paralela al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1} . Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}, que es plano, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{a}^{\,D}_{21} & = & \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BD} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BD}\\ &&\\ & & \vec{a}^{\,B}_{21} = -(v_0^2/R)\,\vec{\imath}_1\\ &&\\ &&\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BD} = (\alpha_{21}\,\vec{k})\times\left(\sqrt{3}R\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1\right) = \alpha_{21}R\,\vec{\imath}_1 +\sqrt{3}R\alpha_{21}\,\vec{\jmath}_1\\ &&\\ &&|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BD} = (\sqrt{3}v_0^2/R)\,\vec{\imath}_1 - (v_0^2/R)\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,D}_{21} = \left(-\dfrac{v_0^2}{R}\,\left(1+\sqrt{3}\right) + R\alpha_{21}\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{R}+\sqrt{3}R\alpha_{21}\right)\,\vec{\jmath}_1 }

La componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_1} debe se nula, por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{21} = -\dfrac{v_0^2}{\sqrt{3}R^2} \Longrightarrow \vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{\sqrt{3}R^2}\,\vec{k}. }

Aplicando esto a la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,D}_{21} } obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,D}_{21} = -\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1. }