Aro con barra articulada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de radio $R$, rueda sin deslizar sobre el eje $O_{1}X_{1}$. El centro del disco se mueve con rapidez constante $v_{0}$, como se indica en la figura. Una barra (sólido "2") de longitud $2R$ está articulada en el punto $B$ de la circunferencia exterior del disco. El otro extremo de la barra desliza sobre el eje $O_{1}X_{1}$.

1. Localiza gráficamente los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21} en el instante indicado en la figura. Explica el procedimiento seguido.
2. Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos indicados.
3. Calcula ${\vec {\alpha }}_{21}$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,D}$.

Solución

Análisis previo

Del planteamiento del problema podemos deducir los siguientes puntos:

1. Todos los movimientos son planos, por tanto todos los vectores rotación y aceleración angular son perpendiculares al plano del movimiento.
2. EL disco rueda sin deslizar, entonces ${\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {0}}$. Además del enunciado sabemos que ${\vec {v}}_{01}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$. Se dice que esta velocidad es constante, por tanto, ${\vec {a}}_{01}^{\,C}={\vec {0}}$.
3. Los sólidos "0" y "2" están articulados en $B$ en todo instante, por tanto ${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}$ y ${\vec {a}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}$.
4. El punto $D$ de la barra desliza desliza siempre sobre el eje $O_{1}X_{1}$, es decir, ${\vec {v}}_{21}^{\,D}$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,D}$ son siempre paralelas a ese eje.
5. Vamos a necesitar el vector ${\overrightarrow {BD}}$. En la figura del siguiente apartado vemos que el triángulo $BED$ es rectángulo. Usando el Teorema de Pitágoras tenemos ${\overrightarrow {BD}}={\sqrt {3}}R\,{\vec {\imath }}_{1}-R\,{\vec {\jmath }}_{1}$.

Localización de los C.I.R.

Del análisis previo tenemos ${\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {0}}$, por lo que $I_{01}\equiv A$.

También sabemos que ${\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}$. Entonces $I_{20}\equiv B$.

Como ${\vec {v}}_{21}^{\,D}$ es siempre paralela al eje $O_{1}X_{1}$, el CIR $I_{21}$ debe estar en la línea perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,D}$ trazada por $D$. Por otro lado, usando el Teorema de los Tres Centros, $I_{21}$ debe estar en la línea que une $I_{01}$ y $I_{20}$. El CIR buscado está en el corte de esas dos líneas.

Aunque no se pedía en el examen, podemos obtener la localización exacta de $I_{21}$. Como se ve en la figura, la línea que une $I_{01}$ y $I_{20}$ forma un ángulo $\pi /4$ con la horizontal. Usando el Teorema de Pitágoras, tenemos

${\overline {ED}}={\sqrt {3}}R\Longrightarrow {\overline {AD}}=(1+{\sqrt {3}})R.$

Entonces

${\overrightarrow {DI}}_{21}=(1+{\sqrt {3}})R\,{\vec {\jmath }}.$

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

A partir del análisis anterior podemos escribir

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {0}}.$

Usando el Teorema de Chasles

${\vec {v}}^{\,C}={\vec {v}}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AC}}={\vec {0}}+(\omega _{01}\,{\vec {k}})\times (R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-\omega _{01}R$

Comparando con el valor dado de ${\vec {v}}_{01}^{\,C}$ obtenemos

$\omega _{01}=-{\dfrac {v_{0}}{R}}$

Por tanto la reducción cinemática es

${\vec {\omega }}_{01}=-{\dfrac {v_{0}}{R}}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

También se puede hacer la reducción en el punto $A$.

Movimiento {21}

La clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que conocemos la velocidad del movimiento {21} en un punto (el $B$) y la dirección de la velocidad en otro (el $D$). Sabemos que

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}.$

Usando la composición

$\{21\}=\{20\}+\{01\}$

obtenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,B}$

A partir de la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} obtenemos

${\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {BC}}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}+\left(-{\dfrac {v_{0}}{R}}\,{\vec {k}}\right)\times (R,{\vec {\imath }}_{1})=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}-v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Es decir

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}-v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Por otro lado sabemos la dirección de ${\vec {v}}_{21}^{\,D}$, paralela a $O_{1}X_{1}$. Con el Teorema de Chasles calculamos la velocidad {21} en $D$ a partir de $B$

${\begin{array}{lcl}{\vec {v}}_{21}^{\,D}&=&{\vec {v}}_{21}^{\,B}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BD}}\\&&\\&&{\vec {v}}_{21}^{\,B}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}-v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BD}}=(\omega _{21}\,{\vec {k}})\times ({\sqrt {3}}R\,{\vec {\imath }}_{1}-R\,{\vec {\jmath }}_{1})=R\omega _{21}\,{\vec {\imath }}_{1}+{\sqrt {3}}R\omega _{21}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

El vector ${\overrightarrow {BD}}$ lo hemos obtenido usando el Teorema de Pitágoras, como se ve en la figura del apartado anterior. Entonces

${\vec {v}}_{21}^{\,D}=(v_{0}+R\omega _{21})\,{\vec {\imath }}_{1}+(-v_{0}+{\sqrt {3}}R\omega _{21})\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

La componente en ${\vec {\jmath }}_{1}$ tiene que ser cero, por tanto

$\omega _{21}={\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}.$

Por tanto, una posible reducción cinemática de este movimiento es

${\vec {\omega }}_{21}={\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {3}}R}}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,B}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}-v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Movimiento {20}

Usando la composición $\{21\}=\{20\}+\{01\}$ tenemos

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\Longrightarrow {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{HastaelmartesnovoyalaEscuela.21}-{\vec {\omega }}_{01}$

Una posible reducción cinemática de este movimiento es

${\vec {\omega }}_{20}=\left(1+{\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {0}}.$

Aceleraciones

Igual que para la reducción cinemática del movimiento {21}, la clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que podemos conocer la aceleración del movimiento {21} en un punto (el $B$) y la dirección de la aceleración en otro (el $D$).

Del análisis previo sabemos

${\vec {a}}_{01}^{\,C}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{20}^{\,B}={\vec {0}},\qquad {\vec {a}}_{21}^{\,D}\cdot {\vec {\jmath }}_{1}=0.$

Además, al ser $v_{0}$ constante, ${\vec {\omega }}_{01}$ también lo es, por lo que

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

Usando el Teorema de Coriolis

${\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{20}^{\,B}+{\vec {a}}_{01}^{\,B}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,B}$

Sólo el segundo término es no nulo. Como es un movimiento tenemos

${\vec {a}}_{01}^{\,B}={\vec {a}}_{01}^{\,C}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {CB}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}{\overrightarrow {CB}}=-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}{\overrightarrow {CB}}=-\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{R^{2}}}\right)\,(R\,{\vec {\imath }}_{1})=-{\dfrac {v_{0}^{2}}{R}}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Entonces

${\vec {a}}_{21}^{\,B}={\vec {a}}_{01}^{\,B}=-{\dfrac {v_{0}^{2}}{R}}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Sabemos que ${\vec {a}}_{21}^{\,D}$ debe ser paralela al eje $O_{1}X_{1}$. Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}, que es plano, tenemos

${\begin{array}{lcl}{\vec {a}}_{21}^{\,D}&=&{\vec {a}}_{21}^{\,B}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {BD}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}{\overrightarrow {BD}}\\&&\\&&{\vec {a}}_{21}^{\,B}=-(v_{0}^{2}/R)\,{\vec {\imath }}_{1}\\&&\\&&{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {BD}}=(\alpha _{21}\,{\vec {k}})\times \left({\sqrt {3}}R\,{\vec {\imath }}_{1}-R\,{\vec {\jmath }}_{1}\right)=\alpha _{21}R\,{\vec {\imath }}_{1}+{\sqrt {3}}R\alpha _{21}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&&\\&&|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}{\overrightarrow {BD}}=({\sqrt {3}}v_{0}^{2}/R)\,{\vec {\imath }}_{1}-(v_{0}^{2}/R)\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Entonces

${\vec {a}}_{21}^{\,D}=\left(-{\dfrac {v_{0}^{2}}{R}}\,\left(1+{\sqrt {3}}\right)+R\alpha _{21}\right)\,{\vec {\imath }}_{1}+\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{R}}+{\sqrt {3}}R\alpha _{21}\right)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

La componente en ${\vec {\jmath }}_{1}$ debe se nula, por tanto

$\alpha _{21}=-{\dfrac {v_{0}^{2}}{{\sqrt {3}}R^{2}}}\Longrightarrow {\vec {\alpha }}_{21}=-{\dfrac {v_{0}^{2}}{{\sqrt {3}}R^{2}}}\,{\vec {k}}.$

Aplicando esto a la expresión de ${\vec {a}}_{21}^{\,D}$ obtenemos

${\vec {a}}_{21}^{\,D}=-{\dfrac {3+4{\sqrt {3}}}{3}}{\dfrac {v_{0}^{2}}{R}}\,{\vec {\imath }}_{1}.$