Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de radio , rueda sin deslizar sobre el eje . El centro del disco se mueve con rapidez constante , como se indica en la figura. Una barra (sólido "2") de longitud está articulada en el punto de la circunferencia exterior del disco. El otro extremo de la barra desliza sobre el eje .

  1. Localiza gráficamente los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21} en el instante indicado en la figura. Explica el procedimiento seguido.
  2. Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos indicados.
  3. Calcula y .

Solución

Análisis previo

Del planteamiento del problema podemos deducir los siguientes puntos:

  1. Todos los movimientos son planos, por tanto todos los vectores rotación y aceleración angular son perpendiculares al plano del movimiento.
  2. EL disco rueda sin deslizar, entonces . Además del enunciado sabemos que . Se dice que esta velocidad es constante, por tanto, .
  3. Los sólidos "0" y "2" están articulados en en todo instante, por tanto y .
  4. El punto de la barra desliza desliza siempre sobre el eje , es decir, y son siempre paralelas a ese eje.
  5. Vamos a necesitar el vector . En la figura del siguiente apartado vemos que el triángulo es rectángulo. Usando el Teorema de Pitágoras tenemos .


Localización de los C.I.R.

Del análisis previo tenemos , por lo que .

También sabemos que . Entonces .

Como es siempre paralela al eje , el CIR debe estar en la línea perpendicular a trazada por . Por otro lado, usando el Teorema de los Tres Centros, debe estar en la línea que une y . El CIR buscado está en el corte de esas dos líneas.

Aunque no se pedía en el examen, podemos obtener la localización exacta de . Como se ve en la figura, la línea que une y forma un ángulo con la horizontal. Usando el Teorema de Pitágoras, tenemos

Entonces

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

A partir del análisis anterior podemos escribir

Usando el Teorema de Chasles

Comparando con el valor dado de obtenemos

Por tanto la reducción cinemática es

También se puede hacer la reducción en el punto .

Movimiento {21}

La clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que conocemos la velocidad del movimiento {21} en un punto (el ) y la dirección de la velocidad en otro (el ). Sabemos que

Usando la composición

obtenemos

A partir de la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} obtenemos

Es decir

Por otro lado sabemos la dirección de , paralela a . Con el Teorema de Chasles calculamos la velocidad {21} en a partir de

El vector lo hemos obtenido usando el Teorema de Pitágoras, como se ve en la figura del apartado anterior. Entonces

La componente en tiene que ser cero, por tanto

Por tanto, una posible reducción cinemática de este movimiento es

Movimiento {20}

Usando la composición tenemos

Una posible reducción cinemática de este movimiento es

Aceleraciones

Igual que para la reducción cinemática del movimiento {21}, la clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que podemos conocer la aceleración del movimiento {21} en un punto (el ) y la dirección de la aceleración en otro (el ).

Del análisis previo sabemos

Además, al ser constante, también lo es, por lo que

Usando el Teorema de Coriolis

Sólo el segundo término es no nulo. Como es un movimiento tenemos

Entonces

Sabemos que debe ser paralela al eje . Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}, que es plano, tenemos

Entonces

La componente en debe se nula, por tanto

Aplicando esto a la expresión de obtenemos