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Aro con barra articulada, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de radio R, rueda sin deslizar sobre el eje O1X1. El centro del disco se mueve con rapidez constante v0, como se indica en la figura. Una barra (sólido "2") de longitud 2R está articulada en el punto B de la circunferencia exterior del disco. El otro extremo de la barra desliza sobre el eje O1X1.

  1. Localiza gráficamente los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21} en el instante indicado en la figura. Explica el procedimiento seguido.
  2. Encuentra reducciones cinemáticas de los tres movimientos relativos indicados.
  3. Calcula \vec{\alpha}_{21} y \vec{a}^{\,D}_{21}.

2 Solución

2.1 Análisis previo

Del planteamiento del problema podemos deducir los siguientes puntos:

  1. Todos los movimientos son planos, por tanto todos los vectores rotación y aceleración angular son perpendiculares al plano del movimiento.
  2. EL disco rueda sin deslizar, entonces \vec{v}^{\,A}_{01}=\vec{0}. Además del enunciado sabemos que \vec{v}^{\,C}_{01}=v_0\,\vec{\imath}_1. Se dice que esta velocidad es constante, por tanto, \vec{a}^{\,C}_{01} = \vec{0}.
  3. Los sólidos "0" y "2" están articulados en B en todo instante, por tanto \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0} y \vec{a}^{\,B}_{20}=\vec{0}.
  4. El punto D de la barra desliza desliza siempre sobre el eje O1X1, es decir, \vec{v}^{\,D}_{21} y \vec{a}^{\,D}_{21} son siempre paralelas a ese eje.
  5. Vamos a necesitar el vector \overrightarrow{BD}. En la figura del siguiente apartado vemos que el triángulo BED es rectángulo. Usando el Teorema de Pitágoras tenemos \overrightarrow{BD} = \sqrt{3}R\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1.


2.2 Localización de los C.I.R.

Del análisis previo tenemos \vec{v}^{\,A}_{01}=\vec{0}, por lo que I_{01}\equiv A.

También sabemos que \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}. Entonces I_{20}\equiv B.

Como \vec{v}^{\,D}_{21} es siempre paralela al eje O1X1, el CIR I21 debe estar en la línea perpendicular a \vec{v}^{\,D}_{21} trazada por D. Por otro lado, usando el Teorema de los Tres Centros, I21 debe estar en la línea que une I01 y I20. El CIR buscado está en el corte de esas dos líneas.

Aunque no se pedía en el examen, podemos obtener la localización exacta de I21. Como se ve en la figura, la línea que une I01 y I20 forma un ángulo π / 4 con la horizontal. Usando el Teorema de Pitágoras, tenemos


\overline{ED} = \sqrt{3}R \Longrightarrow \overline{AD} = (1+\sqrt{3})R.

Entonces


\overrightarrow{DI}_{21} = (1+\sqrt{3})R\,\vec{\jmath}.

2.3 Reducciones cinemáticas

2.3.1 Movimiento {01}

A partir del análisis anterior podemos escribir


\vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,C}_{01} = v_0\,\vec{\imath}_1,\qquad
\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{0}.

Usando el Teorema de Chasles


\vec{v}^{\,C} = \vec{v}^{\,A} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC} 
= \vec{0} + (\omega_{01}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{01}R

Comparando con el valor dado de \vec{v}^{\,C}_{01} obtenemos


\omega_{01} = -\dfrac{v_0}{R}

Por tanto la reducción cinemática es


\vec{\omega}_{01} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{k},\qquad
\vec{v}^{\,C}_{01} = v_0\,\vec{\imath}_1.

También se puede hacer la reducción en el punto A.

2.3.2 Movimiento {21}

La clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que conocemos la velocidad del movimiento {21} en un punto (el B) y la dirección de la velocidad en otro (el D). Sabemos que


\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}.

Usando la composición

{21} = {20} + {01}

obtenemos


\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,B}_{01}

A partir de la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01} obtenemos


\vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,C}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{BC}
=
v_0\,\vec{\imath}_1 + \left(-\dfrac{v_0}{R}\,\vec{k}\right)\times(R,\vec{\imath}_1)
=
v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1.

Es decir


\vec{v}^{\,B}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1.

Por otro lado sabemos la dirección de \vec{v}^{\,D}_{21}, paralela a O1X1. Con el Teorema de Chasles calculamos la velocidad {21} en D a partir de B


\begin{array}{lcl}
\vec{v}^{\,D}_{21} &=& \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BD}\\
&&\\
&&\vec{v}^{\,B}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1\\
&&\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BD} = (\omega_{21}\,\vec{k})\times(\sqrt{3}R\,\vec{\imath}_1 
-R\,\vec{\jmath}_1) =
R\omega_{21}\,\vec{\imath}_1 + \sqrt{3}R\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

El vector \overrightarrow{BD} lo hemos obtenido usando el Teorema de Pitágoras, como se ve en la figura del apartado anterior. Entonces


\vec{v}^{\,D}_{21} = (v_0 + R\omega_{21})\,\vec{\imath}_1 + (-v_0 + \sqrt{3}R\omega_{21})\,\vec{\jmath}_1.

La componente en \vec{\jmath}_1 tiene que ser cero, por tanto


\omega_{21} = \dfrac{v_0}{\sqrt{3}R}.

Por tanto, una posible reducción cinemática de este movimiento es


\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,B}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1 - v_0\,\vec{\jmath}_1.

2.3.3 Movimiento {20}

Usando la composición {21} = {20} + {01} tenemos


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{ Hasta el martes no voy a la Escuela. 21} - \vec{\omega}_{01}

Una posible reducción cinemática de este movimiento es


\vec{\omega}_{20} = \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\,\vec{k},
\qquad
\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}.

2.4 Aceleraciones

Igual que para la reducción cinemática del movimiento {21}, la clave para resolver este apartado es que es un movimiento plano del que podemos conocer la aceleración del movimiento {21} en un punto (el B) y la dirección de la aceleración en otro (el D).

Del análisis previo sabemos


\vec{a}^{\,C}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,D}_{21}\cdot\vec{\jmath}_1=0.

Además, al ser v0 constante, \vec{\omega}_{01} también lo es, por lo que


\vec{\alpha}_{01} = 
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}

Usando el Teorema de Coriolis


\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,B}_{20}

Sólo el segundo término es no nulo. Como es un movimiento tenemos


\vec{a}^{\,B}_{01} = \vec{a}^{\,C}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{CB} 
- |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{CB} 
=
- |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{CB} = -\left(\dfrac{v_0^2}{R^2}\right)\,(R\,\vec{\imath}_1)
=
-\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1

Entonces


\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{01} = -\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1

Sabemos que \vec{a}^{\,D}_{21} debe ser paralela al eje O1X1. Usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}, que es plano, tenemos


\begin{array}{lcl}
\vec{a}^{\,D}_{21} & = & \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BD} - 
|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BD}\\
&&\\
& & \vec{a}^{\,B}_{21} = -(v_0^2/R)\,\vec{\imath}_1\\
&&\\
&&\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BD} = (\alpha_{21}\,\vec{k})\times\left(\sqrt{3}R\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1\right) = \alpha_{21}R\,\vec{\imath}_1 +\sqrt{3}R\alpha_{21}\,\vec{\jmath}_1\\
&&\\
&&|\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BD} = (\sqrt{3}v_0^2/R)\,\vec{\imath}_1 - (v_0^2/R)\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

Entonces


\vec{a}^{\,D}_{21} = \left(-\dfrac{v_0^2}{R}\,\left(1+\sqrt{3}\right) + R\alpha_{21}\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(\dfrac{v_0^2}{R}+\sqrt{3}R\alpha_{21}\right)\,\vec{\jmath}_1

La componente en \vec{\jmath}_1 debe se nula, por tanto


\alpha_{21} = -\dfrac{v_0^2}{\sqrt{3}R^2}
\Longrightarrow
\vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{\sqrt{3}R^2}\,\vec{k}.

Aplicando esto a la expresión de \vec{a}^{\,D}_{21} obtenemos


\vec{a}^{\,D}_{21} = -\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{\imath}_1.

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