Enunciado

Sea un aro de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , y además se halla articulado en su punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2Y_2} (sólido "2") solidario con el aro en su movimiento. Se pide:

  1. Determinar gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
  2. Sabiendo que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , que forman los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_2} , verifica la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\omega t} (donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} es una constante conocida), calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A(t)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^C(t)} .

Solución

Determinación gráfica del CIR

Vayamos primero con la determinación gráfica. Tenemos la dirección de la velocidad en dos puntos, el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Dado que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} sólo puede deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} , tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A=v_{21}^A\,\vec{\imath}_1 }

Por otro lado, la velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} debe ser tangente a la circunferencia del aro, pues éste sólo puede deslizar por el pasador. Como se indica en la figura adjunta, el punto de corte de las perpendiculares a las velocidades en esos dos puntos nos da la posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} .

Cálculo de vA21 y vC21

Para calcular analíticamente la posición del CIR necesitamos la velocidad angular y la velocidad en un punto. Al ser un movimiento plano sabemos que la velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k} }

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} el vector unitario perpendicular al plano. Vamos a calcular la posición de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} en el sistema "1", de modo que derivando los vectores de posición obtengamos las velocidades. A partir de ellas, usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtendremos el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_{21}} .

De la figura obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{OA} = 2R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1\\ \\ \overrightarrow{OC} = R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 +R\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Estos vectores están expresados en el triedro "1", y son válidos en todo instante. Podemos entonces derivarlos para obtener las velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_{21}^A=\left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OA}}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\,\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1\\ \\ \vec{v}_{21}^C=\left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OC}}{\mathrm{d}t}\right|_1=R\,\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1-R\,\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Usando la ecuación del campo de velocidades relacionamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^C}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^C = \vec{v}_{21}^A+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} }

Dado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}=-R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1+R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1} , haciendo el producto vectorial la ecuación vectorial se desdobla en dos ecuaciones escalares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{lcl} R\,\dot{\theta}\,\cos\theta&=&R\,\cos\theta\,(2\,\dot{\theta}-\omega_{21})\\ -R\,\dot{\theta}\,\,\mathrm{sen}\,\theta&=&-R\,\omega_{21}\,\cos\theta \end{array} \right\} \Rightarrow \omega_{21}=\dot{\theta} }

Por tanto la reducción del movimiento {21} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}=\omega\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{21}^C = R\,\omega\,\cos(\omega t)\,\vec{\imath}_1-R\,\omega\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1 }

Podemos calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^C} derivando directamente en la velocidad calculada

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^C=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^C}{\mathrm{d}t}\right|_1=-R\,\omega^2[\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1+\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}_1] }

Nos falta la determinación analítica de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} . Dada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A} , tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AI_{21}}=\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^A}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=2\,R\,\cos{\theta}\,\vec{\jmath}_1 }

Podemos ver en la figura que este vector indica el mismo punto que la determinación gráfica.

Base y ruleta del movimiento {21}

Base

La base del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} } , visto desde el sólido "1". Este lugar geométrico es la curva descrita por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} } durante el movimiento del sólido "2". Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} } visto desde el sólido "1", es decir, el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{21} } . Como el origen de la escuadra del sólido "1" es el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } , este vector es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{21} = \overrightarrow{OI}_{21} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}_{21} }

De la geometría observamos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_{1} }

El otro vector lo hemos calculado en el apartado anterior. Entonces, el vector de posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} } visto desde el sólido "1" es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_{1} + 2\,R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 }

Esta curva está descrita en función del parámetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } . Durante el movimiento, este ángulo va variando en el tiempo. Para encontrar la expresión de la curva que describe hemos de eliminar el parámetro. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{21} = \left\{ \begin{array}{l} x^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta \\ \\ y^{I_{21}}_{21} = 2\,R\,\cos\theta \\ \\ z^{I_{21}}_{21} = 0 \end{array} \right. }

Observando las expresiones de las componentes en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1 } e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y_1 } vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(x^{I_{21}}_{21}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{21}\right)^2 = 4\,R^2\,\mathrm{sen}^2\theta + 4\,R^2\,\cos^2\theta = (2\,R)^2 }

Las ecuaciones implícitas de la base son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(x^{I_{21}}_{21}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{21}\right)^2 = (2\,R)^2 \qquad\qquad z^{I_{21}}_{21} = 0 }

Esto es una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R } y centro en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } .

Ruleta

La ruleta del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} } , visto desde el sólido "2". Este lugar geométrico es la curva descrita por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} } durante el movimiento del sólido "2", visto desde este sólido. Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21} } visto desde el sólido "2", es decir, el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{22} } . Como el origen de la escuadra del sólido "2" es el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } , este vector es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{22} = \overrightarrow{AI}_{21} = 2\,R\,\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 }

El problema aquí es que el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_{1} } no es constante visto desde el sólido "2". Hemos de expresar este vector en la base del sólido "2". Del dibujo vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_{1} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\,\vec{\jmath}_2 }

El vector que buscamos es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{22} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\vec{\imath}_2 + 2\,R\cos^2\theta\,\vec{\jmath}_2 = \left\{ \begin{array}{l} x^{I_{21}}_{22} = 2\,R\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta \\ \\ y^{I_{21}}_{22} = 2\,R\cos^2\theta \\ \\ z^{I_{21}}_{22} = 0 \end{array} \right. }

Podemos utilizar las fórmulas del ángulo doble

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \mathrm{sen}\,(2\alpha) = 2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos{\alpha} \\ \\ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \mathrm{sen}^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 \Longrightarrow \cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha) \end{array} }

Con esto tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{I_{21}}_{22} = \left\{ \begin{array}{l} x^{I_{21}}_{22} = R\,\mathrm{sen}\,(2\theta) \\ \\ y^{I_{21}}_{22} = R\, ( 1 + \cos(2\theta) ) \\ \\ z^{I_{21}}_{22} = 0 \end{array} \right. }

Podemos ver entonces que se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(x^{I_{21}}_{22}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{22}-R\right)^2 = R^2\,\mathrm{sen}^2(2\theta) + R^2\cos^2(2\theta) = R^2 }

Por tanto, las ecuaciones implícitas de la ruleta son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(x^{I_{21}}_{22}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{22}-R\right)^2 = R^2 \qquad \qquad z^{I_{21}}_{22} = 0 }

Esto es una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R } , con centro en el punto de coordenadas en la escuadra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_2Y_2 } dadas por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0,R)_{2} } . Vemos que el centro resulta ser el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } . Por tanto la ruleta es la circunferencia del propio aro.

La figura muestra la base y la ruleta del movimiento {21}. En cada instante, el C.I.R. del movimiento está en el punto de tangencia de las dos curvas. El movimiento {21} puede visualizarse como la ruleta rodando sin deslizar sobre la base.

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