Aro con deslizador (G.I.A.)

Enunciado

Sea un aro de centro $C$ y radio $R$ (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto $O$, y además se halla articulado en su punto $A$ a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal $OX_{1}$ (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes $OX_{2}Y_{2}$ (sólido "2") solidario con el aro en su movimiento. Se pide:

1. Determinar gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
2. Sabiendo que el ángulo $\theta$, que forman los ejes $OX_{1}$ y $AX_{2}$, verifica la ley horaria $\theta (t)=\omega t$ (donde $\omega$ es una constante conocida), calcular ${\vec {v}}_{21}^{A}(t)$ y ${\vec {a}}_{21}^{C}(t)$.

Solución

Determinación gráfica del CIR

Vayamos primero con la determinación gráfica. Tenemos la dirección de la velocidad en dos puntos, el $A$ y el $O$. Dado que el punto $A$ sólo puede deslizar sobre el eje $OX_{1}$, tenemos

${\vec {v}}_{21}^{A}=v_{21}^{A}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Por otro lado, la velocidad en $O$ debe ser tangente a la circunferencia del aro, pues éste sólo puede deslizar por el pasador. Como se indica en la figura adjunta, el punto de corte de las perpendiculares a las velocidades en esos dos puntos nos da la posición de $I_{21}$.

Cálculo de v^A₂₁ y v^C₂₁

Para calcular analíticamente la posición del CIR necesitamos la velocidad angular y la velocidad en un punto. Al ser un movimiento plano sabemos que la velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}$

siendo ${\vec {k}}$ el vector unitario perpendicular al plano. Vamos a calcular la posición de los puntos $A$ y $C$ en el sistema "1", de modo que derivando los vectores de posición obtengamos las velocidades. A partir de ellas, usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtendremos el valor de $\omega _{21}$.

De la figura obtenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=2R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\overrightarrow {OC}}=R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+R\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Estos vectores están expresados en el triedro "1", y son válidos en todo instante. Podemos entonces derivarlos para obtener las velocidades

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OA}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=2R\,{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{21}^{C}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {OC}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=R\,{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}-R\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Usando la ecuación del campo de velocidades relacionamos ${\vec {v}}_{21}^{A}$ y ${\vec {v}}_{21}^{C}$

${\vec {v}}_{21}^{C}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}$

Dado que ${\overrightarrow {AC}}=-R\,\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+R\,\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$, haciendo el producto vectorial la ecuación vectorial se desdobla en dos ecuaciones escalares

$\left.{\begin{array}{lcl}R\,{\dot {\theta }}\,\cos \theta &=&R\,\cos \theta \,(2\,{\dot {\theta }}-\omega _{21})\\-R\,{\dot {\theta }}\,\,\mathrm {sen} \,\theta &=&-R\,\omega _{21}\,\cos \theta \end{array}}\right\}\Rightarrow \omega _{21}={\dot {\theta }}$

Por tanto la reducción del movimiento {21} en el punto $C$ es

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}=\omega \,{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{21}^{C}=R\,\omega \,\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}_{1}-R\,\omega \,\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Podemos calcular ${\vec {a}}_{21}^{C}$ derivando directamente en la velocidad calculada

${\vec {a}}_{21}^{C}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{C}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-R\,\omega ^{2}[\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}_{1}+\cos(\omega t)\,{\vec {\jmath }}_{1}]$

Nos falta la determinación analítica de $I_{21}$. Dada ${\vec {v}}_{21}^{A}$, tenemos

${\overrightarrow {AI_{21}}}={\dfrac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{A}}{|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}=2\,R\,\cos {\theta }\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Podemos ver en la figura que este vector indica el mismo punto que la determinación gráfica.

Base y ruleta del movimiento {21}

Base

La base del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, $I_{21}$, visto desde el sólido "1". Este lugar geométrico es la curva descrita por $I_{21}$ durante el movimiento del sólido "2". Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de $I_{21}$ visto desde el sólido "1", es decir, el vector ${\vec {r}}_{21}^{I_{21}}$. Como el origen de la escuadra del sólido "1" es el punto $O$, este vector es

${\vec {r}}_{21}^{I_{21}}={\overrightarrow {OI}}_{21}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI}}_{21}$

De la geometría observamos que

${\overrightarrow {OA}}=2\,R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}$

El otro vector lo hemos calculado en el apartado anterior. Entonces, el vector de posición de $I_{21}$ visto desde el sólido "1" es

${\vec {r}}_{21}^{I_{21}}=2\,R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+2\,R\,\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Esta curva está descrita en función del parámetro $\theta$. Durante el movimiento, este ángulo va variando en el tiempo. Para encontrar la expresión de la curva que describe hemos de eliminar el parámetro. Tenemos

${\vec {r}}_{21}^{I_{21}}=\left\{{\begin{array}{l}x_{21}^{I_{21}}=2\,R\,\mathrm {sen} \,\theta \\\\y_{21}^{I_{21}}=2\,R\,\cos \theta \\\\z_{21}^{I_{21}}=0\end{array}}\right.$

Observando las expresiones de las componentes en $X_{1}$ e $Y_{1}$ vemos que

$\left(x_{21}^{I_{21}}\right)^{2}+\left(y_{21}^{I_{21}}\right)^{2}=4\,R^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +4\,R^{2}\,\cos ^{2}\theta =(2\,R)^{2}$

Las ecuaciones implícitas de la base son

$\left(x_{21}^{I_{21}}\right)^{2}+\left(y_{21}^{I_{21}}\right)^{2}=(2\,R)^{2}\qquad \qquad z_{21}^{I_{21}}=0$

Esto es una circunferencia de radio $2R$ y centro en el punto $O$.

Ruleta

La ruleta del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, $I_{21}$, visto desde el sólido "2". Este lugar geométrico es la curva descrita por $I_{21}$ durante el movimiento del sólido "2", visto desde este sólido. Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de $I_{21}$ visto desde el sólido "2", es decir, el vector ${\vec {r}}_{22}^{I_{21}}$. Como el origen de la escuadra del sólido "2" es el punto $A$, este vector es

${\vec {r}}_{22}^{I_{21}}={\overrightarrow {AI}}_{21}=2\,R\,\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

El problema aquí es que el vector ${\vec {\jmath }}_{1}$ no es constante visto desde el sólido "2". Hemos de expresar este vector en la base del sólido "2". Del dibujo vemos que

${\vec {\jmath }}_{1}=\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{2}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{2}$

El vector que buscamos es

${\vec {r}}_{22}^{I_{21}}=2\,R\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta \,{\vec {\imath }}_{2}+2\,R\cos ^{2}\theta \,{\vec {\jmath }}_{2}=\left\{{\begin{array}{l}x_{22}^{I_{21}}=2\,R\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta \\\\y_{22}^{I_{21}}=2\,R\cos ^{2}\theta \\\\z_{22}^{I_{21}}=0\end{array}}\right.$

Podemos utilizar las fórmulas del ángulo doble

${\begin{array}{l}\mathrm {sen} \,(2\alpha )=2\,\mathrm {sen} \,\alpha \cos {\alpha }\\\\\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\mathrm {sen} ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1\Longrightarrow \cos ^{2}\alpha =1+\cos(2\alpha )\end{array}}$

Con esto tenemos

${\vec {r}}_{22}^{I_{21}}=\left\{{\begin{array}{l}x_{22}^{I_{21}}=R\,\mathrm {sen} \,(2\theta )\\\\y_{22}^{I_{21}}=R\,(1+\cos(2\theta ))\\\\z_{22}^{I_{21}}=0\end{array}}\right.$

Podemos ver entonces que se cumple

$\left(x_{22}^{I_{21}}\right)^{2}+\left(y_{22}^{I_{21}}-R\right)^{2}=R^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(2\theta )+R^{2}\cos ^{2}(2\theta )=R^{2}$

Por tanto, las ecuaciones implícitas de la ruleta son

$\left(x_{22}^{I_{21}}\right)^{2}+\left(y_{22}^{I_{21}}-R\right)^{2}=R^{2}\qquad \qquad z_{22}^{I_{21}}=0$

Esto es una circunferencia de radio $R$, con centro en el punto de coordenadas en la escuadra $AX_{2}Y_{2}$ dadas por $(0,R)_{2}$. Vemos que el centro resulta ser el punto $C$. Por tanto la ruleta es la circunferencia del propio aro.

La figura muestra la base y la ruleta del movimiento {21}. En cada instante, el C.I.R. del movimiento está en el punto de tangencia de las dos curvas. El movimiento {21} puede visualizarse como la ruleta rodando sin deslizar sobre la base.