Enunciado

Sea un aro de centro y radio (sólido "2") que se mueve, en un plano fijo (sólido "1"), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por un pasador giratorio situado en el punto , y además se halla articulado en su punto a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes (sólido "2") solidario con el aro en su movimiento. Se pide:

  1. Determinar gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
  2. Sabiendo que el ángulo , que forman los ejes y , verifica la ley horaria (donde es una constante conocida), calcular y .

Solución

Determinación gráfica del CIR

Vayamos primero con la determinación gráfica. Tenemos la dirección de la velocidad en dos puntos, el y el . Dado que el punto sólo puede deslizar sobre el eje , tenemos

Por otro lado, la velocidad en debe ser tangente a la circunferencia del aro, pues éste sólo puede deslizar por el pasador. Como se indica en la figura adjunta, el punto de corte de las perpendiculares a las velocidades en esos dos puntos nos da la posición de .

Cálculo de vA21 y vC21

Para calcular analíticamente la posición del CIR necesitamos la velocidad angular y la velocidad en un punto. Al ser un movimiento plano sabemos que la velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento

siendo el vector unitario perpendicular al plano. Vamos a calcular la posición de los puntos y en el sistema "1", de modo que derivando los vectores de posición obtengamos las velocidades. A partir de ellas, usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} obtendremos el valor de .

De la figura obtenemos

Estos vectores están expresados en el triedro "1", y son válidos en todo instante. Podemos entonces derivarlos para obtener las velocidades

Usando la ecuación del campo de velocidades relacionamos y

Dado que , haciendo el producto vectorial la ecuación vectorial se desdobla en dos ecuaciones escalares

Por tanto la reducción del movimiento {21} en el punto es

Podemos calcular derivando directamente en la velocidad calculada

Nos falta la determinación analítica de . Dada , tenemos

Podemos ver en la figura que este vector indica el mismo punto que la determinación gráfica.

Base y ruleta del movimiento {21}

Base

La base del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, , visto desde el sólido "1". Este lugar geométrico es la curva descrita por durante el movimiento del sólido "2". Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de visto desde el sólido "1", es decir, el vector . Como el origen de la escuadra del sólido "1" es el punto , este vector es

De la geometría observamos que

El otro vector lo hemos calculado en el apartado anterior. Entonces, el vector de posición de visto desde el sólido "1" es

Esta curva está descrita en función del parámetro . Durante el movimiento, este ángulo va variando en el tiempo. Para encontrar la expresión de la curva que describe hemos de eliminar el parámetro. Tenemos

Observando las expresiones de las componentes en e vemos que

Las ecuaciones implícitas de la base son

Esto es una circunferencia de radio y centro en el punto .

Ruleta

La ruleta del movimiento {21} es el lugar geométrico descrito por el C.I.R. del movimiento, , visto desde el sólido "2". Este lugar geométrico es la curva descrita por durante el movimiento del sólido "2", visto desde este sólido. Para encontrarla, hemos de determinar la expresión del vector de posición de visto desde el sólido "2", es decir, el vector . Como el origen de la escuadra del sólido "2" es el punto , este vector es

El problema aquí es que el vector no es constante visto desde el sólido "2". Hemos de expresar este vector en la base del sólido "2". Del dibujo vemos que

El vector que buscamos es

Podemos utilizar las fórmulas del ángulo doble

Con esto tenemos

Podemos ver entonces que se cumple

Por tanto, las ecuaciones implícitas de la ruleta son

Esto es una circunferencia de radio , con centro en el punto de coordenadas en la escuadra dadas por . Vemos que el centro resulta ser el punto . Por tanto la ruleta es la circunferencia del propio aro.

La figura muestra la base y la ruleta del movimiento {21}. En cada instante, el C.I.R. del movimiento está en el punto de tangencia de las dos curvas. El movimiento {21} puede visualizarse como la ruleta rodando sin deslizar sobre la base.