Descomposición de un vector (G.I.C.)

Enunciado

Dados un vector cualquiera ${\vec {A}}$ y un vector unitario ${\vec {u}}$, expresa el vector ${\vec {A}}$ como la suma de un vector paralelo a ${\vec {u}}$ y otro perpendicular a ${\vec {u}}$.

Solución

Hay que expresar el vector ${\vec {A}}$ como

${\vec {A}}={\vec {A}}_{\parallel }+{\vec {A}}_{\perp },$

donde ${\vec {A}}_{\parallel }\parallel {\vec {u}}$ y ${\vec {A}}_{\perp }\perp {\vec {u}}$, siendo $|{\vec {u}}|=1$.

Para encontrar ${\vec {A}}_{\parallel }$ usamos que el producto escalar de ${\vec {A}}$ por ${\vec {u}}$ es la proyección de ${\vec {A}}$ sobre ${\vec {u}}$. Para obtener el vector ${\vec {A}}_{\parallel }$ basta con multiplicar esta proyección por ${\vec {u}}$

${\vec {A}}_{\parallel }=({\vec {A}}\cdot {\vec {u}})\,{\vec {u}}.$

El módulo de ${\vec {A}}_{\perp }$ se obtiene con el producto vectorial

$|{\vec {A}}_{\perp }|=|{\vec {A}}\times {\vec {u}}|$

Debemos hallar un vector unitario ${\vec {u}}_{\perp }$ que sea perpendicular a ${\vec {u}}$ y que esté en el plano definido por ${\vec {A}}$ y ${\vec {u}}$. El vector

${\vec {v}}={\dfrac {{\vec {A}}\times {\vec {u}}}{|{\vec {A}}\times {\vec {u}}|}}$

es unitario y perpendicular al plano definido por ${\vec {A}}$ y ${\vec {u}}$. Entonces

${\vec {u}}_{\perp }={\vec {u}}\times {\vec {v}}.$

Entonces

${\vec {A}}_{\perp }=|{\vec {A}}\times {\vec {u}}|\,{\vec {u}}_{\perp }=|{\vec {A}}\times {\vec {u}}|\,{\vec {u}}\times {\vec {v}}=|{\vec {A}}\times {\vec {u}}|\,{\vec {u}}\times {\dfrac {{\vec {A}}\times {\vec {u}}}{|{\vec {A}}\times {\vec {u}}|}}={\vec {u}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {u}})$

Es decir

${\vec {A}}=({\vec {A}}\cdot {\vec {u}})\,{\vec {u}}+{\vec {u}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {u}}).$

El primer vector es paralelo a ${\vec {u}}$ y el segundo perpendicular.