Recta soporte de un vector deslizante (G.I.C.)

Enunciado

Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor ${\vec {a}}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}$ y su momento respecto al origen de coordenadas es ${\overrightarrow {M}}_{O}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$. Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.

Solución

Tenemos que encontrar un punto que pertenezca a la recta soporte del vector deslizante. Para un punto cualquiera $P$ perteneciente a la recta soporte, el momento respecto al punto $O$ es

${\overrightarrow {M}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times {\vec {a}}$

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por ${\vec {a}}$

${\vec {a}}\times {\overrightarrow {M}}_{O}={\vec {a}}\times ({\overrightarrow {OP}}\times {\vec {a}})$

Queremos despejar el vector ${\overrightarrow {OP}}$. Desarrollamos el doble producto vectorial

${\vec {a}}\times ({\overrightarrow {OP}}\times {\vec {a}})=\left|{\begin{array}{cc}{\overrightarrow {OP}}&{\vec {a}}\\&\\{\vec {a}}\cdot {\overrightarrow {OP}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\end{array}}\right|=|{\vec {a}}|^{2}\,{\overrightarrow {OP}}-({\vec {a}}\cdot {\overrightarrow {OP}})\,{\vec {a}}$

Seguimos sin poder despejar el vector ${\overrightarrow {OP}}$ pues aparece multiplicado escalarmente por ${\vec {a}}$ en el segundo término.

Sin embargo, el punto $P$ es un punto cualquiera de la recta. En particular, podemos escoger el punto de la recta $P^{*}$ tal que el vector ${\overrightarrow {OP^{*}}}$ sea perpendicular a ${\vec {a}}$. Para ese punto se tiene ${\overrightarrow {OP^{*}}}\cdot {\vec {a}}=0$ y podemos despejarlo de la expresión anterior

${\overrightarrow {OP^{*}}}={\dfrac {{\vec {a}}\times {\overrightarrow {M}}_{O}}{|{\vec {a}}|^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\jmath }}$

Entonces la ecuación vectorial de la recta es

$\Delta \equiv {\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OP^{*}}}+\lambda \,{\vec {a}}=\left[{\dfrac {1}{2}}+\lambda ,-{\dfrac {1}{2}}+\lambda ,-2\lambda \right]$