Enunciado
Un vector deslizante tiene como cursor el vector libre cursor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \vec{\imath}+\vec{\jmath} - 2\vec{k}} y su momento respecto al origen de coordenadas es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{M}_O=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}} . Encuentra la ecuación vectorial de la recta soporte del vector deslizante.
Solución
Tenemos que encontrar un punto que pertenezca a la recta soporte del vector deslizante. Para un punto cualquiera Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P } perteneciente a la recta soporte, el momento respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{a} }
Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\times\overrightarrow{M}_O = \vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a}) }
Queremos despejar el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP} } . Desarrollamos el doble producto vectorial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\times(\overrightarrow{OP}\times\vec{a}) = \left| \begin{array}{cc} \overrightarrow{OP} & \vec{a} \\ &\\ \vec{a}\cdot\overrightarrow{OP} & \vec{a}\cdot\vec{a} \end{array} \right| = |\vec{a}|^2\,\overrightarrow{OP} - (\vec{a}\cdot\overrightarrow{OP})\,\vec{a} }
Seguimos sin poder despejar el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP} } pues aparece multiplicado escalarmente por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} } en el segundo término.
Sin embargo, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P } es un punto cualquiera de la recta. En particular, podemos escoger el punto de la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P^* } tal que el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP^*} } sea perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} } . Para ese punto se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP^*}\cdot\vec{a} =0} y podemos despejarlo de la expresión anterior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP^*} = \dfrac{\vec{a}\times\overrightarrow{M}_O}{|\vec{a}|^2} = \dfrac{1}{2}\,\vec{\imath} - \dfrac{1}{2}\,\vec{\jmath} }
Entonces la ecuación vectorial de la recta es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \equiv \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP^*} + \lambda\,\vec{a} = \left[\dfrac{1}{2}+\lambda, -\dfrac{1}{2}+\lambda, -2\lambda\right] }
