Volumen de un paralelepípedo (G.I.A.)

Enunciado

Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores ${\overrightarrow {OA}}$, ${\overrightarrow {OB}}$ y ${\overrightarrow {OC}}$. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas $O(1,0,2)$, $A(3,2,4)$, $B(2,6,8)$ y $C(2,-3,1)$ (unidades medidas en metros).

Solución

El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que definen. Entonces

$V={\overrightarrow {OC}}\cdot ({\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {OB}})$

Las componentes cartesianas de los vectores son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=2{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OB}}={\vec {\imath }}+6{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}\\{\overrightarrow {OC}}={\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}\end{array}}$

El producto mixto vale

$V=\left|{\begin{array}{ccc}1&-3&-1\\2&2&2\\1&6&6\end{array}}\right|=20\,\mathrm {m^{3}}$