Volumen de un paralelepípedo (G.I.A.)

Enunciado

Calcule el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} . Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O(1,0,2)} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(3,2,4)} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(2,6,8) } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C(2,-3,1)} (unidades medidas en metros).

Solución

El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que definen. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \overrightarrow{OC}\cdot(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}) }

Las componentes cartesianas de los vectores son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{OA} = 2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\\ \overrightarrow{OB} = \vec{\imath}+6\vec{\jmath}+6\vec{k}\\ \overrightarrow{OC} = \vec{\imath}-3\vec{\jmath}-\vec{k} \end{array} }

El producto mixto vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \left| \begin{array}{ccc} 1 & -3&-1\\ 2 & 2 & 2\\ 1 & 6 & 6 \end{array} \right| = 20\,\mathrm{m^3} }