Volumen de un tetraedro (G.I.A.)

Enunciado

Halla el volumen de un tetraedro del cuál se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas $A(0,1,1)$ y $B(2,-1,2)$, y que dos de las aristas que concurren en $B$ están definidas por los vectores libres ${\vec {v}}_{1}=2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ y ${\vec {v}}_{2}=4{\vec {k}}$ (las coordenadas están en metros).

Solución

El vector ${\overrightarrow {BA}}$ es

${\overrightarrow {BA}}=-2{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$

Podemos verificar que ${\overrightarrow {AB}}$, ${\vec {v}}_{1}$ y ${\vec {v}}_{2}$ no son colineales calculando su producto mixto

${\overrightarrow {BA}}\cdot ({\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})=\left|{\begin{array}{ccc}-2&2&-1\\2&-3&1\\0&0&4\end{array}}\right|=8\neq 0$

En cada vértice de un tetraedro concurren tres aristas, luego estos tres vectores son las aristas que concurren en $B$. Esto nos define el tetraedro completo, como se muestra en la figura

El volumen de un tetraedro

$V={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 3}}Sh$

donde $S$ es el área de una de las caras y $h$ es la altura, es decir, la distancia entre esa cara y el vértice opuesto.

Si consideramos como base la cara formada por los vectores ${\overrightarrow {BA}}$ y ${\vec {v}}_{1}$, su área es

$S={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 2}}|{\overrightarrow {BA}}\times {\vec {v}}_{1}|,$

mientras que la altura $h$ es precisamente la proyección de ${\vec {v}}_{2}$ sobre la dirección del vector ${\overrightarrow {BA}}\times {\vec {v}}_{1}$

$h={\frac {\displaystyle {\vec {v}}_{2}\cdot ({\overrightarrow {BA}}\times {\vec {v}}_{1})}{\displaystyle |{\overrightarrow {BA}}\times {\vec {v}}_{1}|}}$

Sustituyendo queda

$V={\frac {\displaystyle 1}{\displaystyle 6}}{\vec {v}}_{2}\cdot ({\overrightarrow {BA}}\times {\vec {v}}_{1})={\frac {\displaystyle 4}{\displaystyle 3}}\,\mathrm {m^{2}}$