Distancia de un punto a un plano (G.I.A.)

Enunciado

Encuentra la ecuación del plano perpendicular al vector libre ${\vec {a}}=2{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}$ y que contiene a un punto $P$, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia $OXYZ$ viene dada por el radio vector ${\vec {r}}={\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}$. Calcula la distancia que separa al origen $O$ de dicho plano (todas las distancias están dadas en metros).

Solución

Tenemos el vector normal al plano, ${\vec {a}}$ y el vector de posición del punto $P$

${\begin{array}{l}{\vec {a}}=2{\vec {\imath }}+3{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}},\\{\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}={\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}.\end{array}}$

Sea $Q(x,y,z)$ un punto cualquiera del plano $\pi$. Entonces el vector ${\overrightarrow {PQ}}$ debe ser perpendicular al vector ${\vec {a}}$, esto es

${\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {a}}=(x-1)2+(y-5)3+(z-3)6=0.$

Por tanto la ecuación del plano es

$2x+3y+6z=35.$

Hay que señalar que los coeficientes de las coordenadas son precisamente las componentes del vector ${\vec {a}}$.

La distancia entre el punto $O$ y el plano es la proyección del vector ${\overrightarrow {OP}}$ sobre el vector normal al plano, ${\vec {a}}$

$d(O,\pi )={\dfrac {{\overrightarrow {OP}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {a}}|}}=5\,\mathrm {m}$