Producto mixto nulo (G.I.A.)

Enunciado

Dados los vectores ${\vec {A}}$, ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$, demuestre que la relación ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=0$ se cumple en cualquiera de los siguientes supuestos:

1. Los tres vectores son colineales.
2. Dos de los vectores son colineales.
3. ${\vec {A}}$, ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$ no son colineales pero sí coplanarios.

Solución

Veamos cada uno de los casos

Los tres vectores colineales

En este caso ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$ son paralelos, por lo que su producto vectorial es nulo, ${\vec {B}}\times {\vec {C}}=0$, con lo cual se cumple la igualdad.

Dos vectores colineales

Si ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$ son colineales recuperamos el caso anterior.

Supongamos que ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ son colineales. Como ${\vec {B}}\times {\vec {C}}$ es perpendicular a ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$, el producto escalar ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})$ es nulo, pues ${\vec {A}}$ también es perpendicular al producto vectorial. Lo mismo ocurre si ${\vec {A}}$ y ${\vec {C}}$ son paralelos.

Coplanarios

El producto vectorial ${\vec {B}}\times {\vec {C}}$ es perpendicular al plano definido por ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$. Por tanto es perpendicular a ${\vec {A}}$, por lo que la igualdad se cumple.