Ángulo capaz de 90 (G.I.A.)

Enunciado

Dada una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, y un diámetro ${\overline {AB}}$ cualquiera, demuestre que las cuerdas ${\overline {PA}}$ y ${\overline {PB}}$ se cortan perpendicularmente,para todo punto $P$ perteneciente a la circunferencia (arco capaz de $90^{o}$).

Solución

Siguiendo la figura podemos definir los vectores asociados a las cuerdas

${\begin{array}{c}{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OP}}\\\\{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {OP}}\end{array}}$

De la figura podemos observar que se cumple

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {AO}}=-{\overrightarrow {BO}}\\\\|{\overrightarrow {AO}}|=|{\overrightarrow {BO}}|=R\\\\|{\overrightarrow {OP}}|=R\end{array}}$

Calculamos el producto escalar de los vectores definidos por la cuerdas

${\begin{array}{ll}{\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}&=({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OP}})\cdot ({\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {OP}})\\&={\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {BO}}\end{array}}$

El primer y el último término se anulan pues ${\overrightarrow {AO}}=-{\overrightarrow {BO}}$ y el producto escalar es conmutativo. Queda entonces

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AO}}\cdot {\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OP}}=-|{\overrightarrow {AO}}|^{2}+|{\overrightarrow {OP}}|^{2}=-R^{2}+R^{2}=0.$

Con lo cual queda demostrado que las cuerdas son perpendiculares.