Diagonales de un rombo (G.I.A.)

Enunciado

Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

Solución

Nombramos los vértices del rombo $A$, $B$, $C$, $D$, como se indica en la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los vectores

${\begin{array}{cccc}{\overrightarrow {AB}},&{\overrightarrow {BC}},&{\overrightarrow {CD}},&{\overrightarrow {DA}}.\end{array}}$

Al ser un rombo los lados opuestos tienen la misma longitud y los vértices opuestos el mismo ángulo. La condición para los vectores es

${\begin{array}{ccc}{\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {CD}},&&{\overrightarrow {BC}}=-{\overrightarrow {DA}}\end{array}}$

Las diagonales pueden calcularse como la suma vectorial de los vectores de los lados

${\begin{array}{cc}{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\\\\{\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}}\end{array}}$

El producto escalar de los vectores de las diagonales es

${\begin{array}{ll}{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}}&=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}})\cdot ({\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}})\\&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {CD}}\end{array}}$

Sustituyendo la primera igualdad de la segunda serie de ecuaciones tenemos

${\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}-{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}-{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}$

El primer y el último término se anulan pues el producto escalar es conmutativo. Los otros dos términos son el producto escalar de un vector por si mismo, es decir

${\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}}=-|{\overrightarrow {AB}}|^{2}+|{\overrightarrow {BC}}|^{2}$

Pero el módulo de esos vectores es precisamente la longitud del lado del rombo. Por tanto

${\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {BD}}=0\,\to \,{\overrightarrow {AC}}\,\perp \,{\overrightarrow {BD}}$