Anilla ensartada en un aro rodante

Enunciado

Se tiene un sistema formado por un aro “2” de masa $m_{2}$ que puede rodar sin deslizar sobre una superficie horizontal “1”. Ensartado en este aro se encuentra una pequeña anilla “3” de masa $m_{3}$ que puede deslizarse sin fricción a lo largo del aro “2”.

Empleando como coordenadas la posición x del centro C del aro “2” a lo largo del eje horizontal y el ángulo θ que la posición de la anilla “3” forma con la vertical, determine:

1. Las ecuaciones de movimiento para estas dos coordenadas.
2. Dos constantes de movimiento no triviales.
3. Suponiendo que el aro y la anilla están en reposo, se sitúa la anilla formando un pequeño ángulo $\theta _{0}$ con la vertical. Determine la frecuencia de las oscilaciones que realiza el sistema.

Ecuaciones de movimiento

Cada uno de los dos cuerpos “2” y “3” obedece las ecuaciones dadas por el teorema de la cantidad de movimiento y el teorema del momento cinético. En cada caso debemos incluir las posibles fuerzas de reacción sobre cada uno de los cuerpos.

Para el aro

Teorema de la cantidad de movimiento

El aro experimenta las siguientes fuerzas externas:

• Su peso $-m_{2}g{\vec {\jmath }}_{1}$
• La reacción del suelo en el punto de contacto A, la cual tiene dos componentes
  • Una vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{Ay}=F_{Ay}\vec{\jmath}_1} que impide que el aro atraviese el suelo, y mantiene el centro a una altura constante R.
  • Una horizontal, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{Ax}=F_{Ax}\vec{\imath}_1} que impide que el aro deslice, de manera que solo ruede.
• Una fuerza de reacción debida a la anilla. El vínculo de que la anilla permanezca en el aro se consigue realizando una fuerza normal sobre ésta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_P} y, por la tercera ley de Newton, una fuerza igual y de sentido contrario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\vec{F}_P} se aplica en el aro.

Esto nos da la sigueinte relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\vec{a}^C_{21}=m_2\vec{g}+\vec{F}_{Ax}+\vec{F}_{Ay}-\vec{F}_P}

La aceleración del centro del aro es puramente horizontal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^C_{21}=\ddot{x}\vec{\imath}_1}

Para expresar la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_P} usamos un sistema “3” de ejes que está girado un ángulo θ respecto al sistema “1”, de manera que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_3} es tangente al aro y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_3} es radial y hacia adentro.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_3 = C\vec{\imath}_1+S\vec{\jmath}_1\qquad\qquad \vec{\jmath}_3=-S\vec{\imath}_1+C\vec{\jmath}_1}

(Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\mathrm{sen}(\theta),\ C=\cos(\theta)} ). Estos vectores se relacionan directamente con los correspondientes a las coordenadas polares.

Tenemos entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2 \ddot{x}\vec{\imath}_1=-m_2g\vec{\jmath}_1+F_{Ax}\vec{\imath}_1+F_{Ay}\vec{\jmath}_1-F_P\vec{\jmath}_3}

Separando por componentes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{lrcl}x:\ & m_2\ddot{x}&=&F_{Ax}+F_PS \\ y:\ &0&=&-mg+F_{Ay}-F_PC\end{array}\right.}

Estas dos ecuaciones no son suficientes para determinar el movimiento del aro.

Teorema del momento cinético

La tercera ecuación para el aro la da la evolución del momento cinético. Respecto al centro del aro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_C=I\vec{\omega}_{21} \qquad\Rightarrow\qquad L_C=I\omega_{21}}

Podemos usar escalares ya que ambos vectores apuntan en la dirección del eje Z, perpendicular al plano de movimiento. Podemos relacionar la velocidad angular con la velocidad de avance del centro por la condición de rodadura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}=\vec{v}^A_{21}+\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{GA}\qquad\Rightarrow\qquad \omega_{21}=-\frac{\dot{x}}{R}}

y de aquí

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{21}=-\ddot{x}{R}}

La única fuerza que provoca un momento respecto al centro es la tangencial en el punto de contacto. Por ello

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I\alpha=F_{Ax}R\qquad\Rightarrow\qquad m_2R^2\left(-\frac{\ddot{x}}{R}\right)=F_{Ax}R\qquad\Rightarrow\qquad F_{Ax}=-m_2\ddot{x}}

Llevando esto a la componente horizontal del TCM podemos eliminar esta fuerza de reacción y queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2m_2\ddot{x}=F_PS}

Para completar el sistema necesitamos además las ecuaciones para la anilla.

Para la anilla

Considerando la anilla como una partícula, no es necesario considerar la rotación. En ese caso nos basta con el TCM, es decir, con la 2ª ley de Newton.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_3\vec{a}^P_{31}=m_3\vec{g}+\vec{F}_P}

La aceleración de la partícula se relaciona con la del centro del aro como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^P_{31}=\vec{a}^P_{31}+\alpha_{31}\vec{k}\times\overrightarrow{CP}-\omega^2_{31}\overrightarrow{CP}}

siendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^C_{31}=\vec{a}^C_{21}=\ddot{x}\vec{\imath}_1}

(aquí estamos imaginando un sólido o sistema de referencia "3" cuyo eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_3} sería el radio por C y P).

Además

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{31}=\ddot{\theta}\qquad\qquad \omega_{31}=\dot{\theta}\qquad\qquad \overrightarrow{CP}=-R\vec{\jmath}_3}

Esto nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_3\left(\ddot{x}\vec{\imath}_1+R\ddot{\theta}\vec{\imath}_3+R\dot{\theta}^2\vec{\jmath}_3\right)=-m_3g\vec{\jmath}_1+F_P\vec{\jmath}_3}

Esta expresión combina dos bases vectoriales. para obtener una ecuación escalar debemos proyectar sobre una dirección dada.

Ecuaciones de movimiento

Si proyectamos la ecuación vectorial de la anilla hacemos sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_3} eliminamos la fuerza de reacción Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_P} y queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_3\left(\ddot{x}C+\ddot{\theta}R\right)=-m_3gS\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{x}C+\ddot{\theta}R=-gS}

Si proyectamos sobre la dirección horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}_1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_3\left(\ddot{x}+R\ddot{\theta}C-R\dot{\theta}^2S\right)=-F_PS}

Sumamos esta ecuación con la correspondiente al aro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2m_2\ddot{x}=F_PS}

y nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2m_2+m_3)\ddot{x}+m_3R\ddot{\theta}C-m_3R\dot{\theta}^2S=0}

Tenemos entonces el sistema

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcccl} \ddot{x}C&+&\ddot{\theta}R&=&-gS \\ (2m_2+m_3)\ddot{x}&+&m_3R\ddot{\theta}C&=&m_3R\dot{\theta}^2S \end{array}\right.}

De aquí podemos despejar las segundas derivadas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl} \ddot{x}& = & \dfrac{m_3S(gC+\dot{\theta}^2R)}{2 m_2 + m_3S^2} \\ &&\\ \ddot{\theta} & = & -\dfrac{(2 m_2 + m_3)gS + m_3RCS\dot{\theta}^2 }{(2 m_2 + m_3S^2) R} \end{array}\right.}

La segunda de las ecuaciones contiene solo a la variable θ y sus derivadas, con lo que puede ser resuelta sin tener en cuenta la posición x del anillo, que puede determinarse posteriormente.

Como límite de interés podemos ver qué pasa si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\to\infty} , es decir, el aro es infinitamente masivo. En ese caso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=0\qquad\qquad \ddot{\theta}=-\frac{g}{R}\mathrm{sen}(\theta)\qquad\qquad (m_2\to\infty)}

es decir, el aro no se mueve, mientras que la anilla cumple la ecuación del péndulo.

Constantes de movimiento

Cantidad de movimiento generalizada

En este sistema no se conserva la cantidad de movimiento,

• En su componente vertical, porque está el peso, que acelera a la anilla en esta dirección.
• En la componente horizontal, porque hay una fuerza externa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{Ax}} que acelera el CM del sistema.

No obstante, si examinamos la ecuación de movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2m_2+m_3)\ddot{x}+m_3R\ddot{\theta}C-m_3R\dot{\theta}^2S=0}

vemos que esta ecuación equivale a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}((2m_2+m_3)\dot{x}+m_3 R\dot{\theta}C)=0}

y por tanto, una constante no trivial es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2m_2+m_3)\dot{x}+m_3 R\dot{\theta}C = B \mathrm{cte.}}

Esta magnitud generaliza la cantidad de movimiento, incorporando un término de rotación.

De hecho, puede integrarse una segunda vez y dar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2m_2+m_3)x+m_3 RS = A+Bt}

con lo cual, si quisiéramos, podríamos obtener una segunda constante no trivial como

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No obstante, hay una segunda constante con mayor significado físico.

Energía mecánica

En este sistema se conserva la energía mecánica. La justificación para ello es que:

• El peso es una fuerza conservativa que deriva de una energía potencial.
• La fuerza de reacción Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_A} se aplica sobre un punto de velocidad nula (el de contacto con el suelo) y por tanto no desarrolla potencia.
• La fuerza interna Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_P} podría, en principio, afectar a la energía, sin embargo, su potencia es suma de la que hace sobre cada sólido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=\vec{F}_P\cdot\vec{v}^P_{31}+(-\vec{F}_P)\cdot\vec{v}^P_{21}=\vec{F}_P\cdot\left(\vec{v}^P_{31}-\vec{v}^P_{21}\right)=\vec{F}_P\cdot\vec{v}^P_{32}=0}

ya que esta fuerza es radial y la velocidad de la anilla respecto al aro es tangencial.

Por tanto la energía mecánica se conserva. Ésta es suma de

• La energía cinética del aro, suma de la de traslación y la de rotación.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2=\frac{1}{2}m_2\left|\vec{v}^C_{21}\right|^2+\frac{1}{2}I\left|\vec{\omega}_21\right|^2 = \frac{1}{2}m_2\dot{x}^2+\frac{1}{2}\left(m_2R^2\right)\left(-\frac{\dot{x}}{R}\right)^2=m_2\dot{x}^2}

• La energía cinética de la partícula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2=\frac{1}{2}m_3\left|\vec{v}^P_{31}\right|^2=\frac{1}{2}m_3\left|\dot{x}\vec{\imath}_1+R\dot{\theta}\vec{\imath}_3\right|^2=\frac{1}{2}m_3\left(\dot{x}^2+2R\dot{x}\dot{\theta}C+R^2\dot{\theta}^2\right)}

• La energía potencial de la partícula, que podemos medir desde la altura del centro del aro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_3=-m_3gC\,}

Sumando estas tres cantidades resulta la energía

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=m_2\dot{x}^2+\frac{1}{2}m_3\left(\dot{x}^2+2R\dot{x}\dot{\theta}C+R^2\dot{\theta}^2\right)-m_3gC}

Podemos comprobar que esta cantidad es una constante derivando respecto al tiempo y sustituyendo las ecuaciones de movimiento.

Pequeñas oscilaciones

La ecuación de movimiento para el ángulo θ es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\dfrac{(2 m_2 + m_3)gS + m_3RCS\dot{\theta}^2 }{(2 m_2 + m_3S^2) R}}

Si consideramos pequeñas oscilaciones alrededor del punto más bajo podemos hacer las aproximaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\mathrm{sen}(\theta)\simeq \theta\qquad\qquad C=\cos(\theta)\simeq 1\qquad\qquad \dot{\theta}^2\ll 1}

con esto queda la ecuación aproximada

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\dfrac{(2 m_2 + m_3)g }{2 m_2 R}\theta}

que es la de un oscilador armónico con frecuencia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{(2 m_2 + m_3)g }{2 m_2 R}}}

Para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\to\infty} se recupera de nuevo la ecuación del péndulo simple.