Anilla ensartada en un aro rodante

Enunciado

Se tiene un sistema formado por un aro “2” de masa $m_{2}$ que puede rodar sin deslizar sobre una superficie horizontal “1”. Ensartado en este aro se encuentra una pequeña anilla “3” de masa $m_{3}$ que puede deslizarse sin fricción a lo largo del aro “2”.

Empleando como coordenadas la posición x del centro C del aro “2” a lo largo del eje horizontal y el ángulo θ que la posición de la anilla “3” forma con la vertical, determine:

1. Las ecuaciones de movimiento para estas dos coordenadas.
2. Dos constantes de movimiento no triviales.
3. Suponiendo que el aro y la anilla están en reposo, se sitúa la anilla formando un pequeño ángulo $\theta _{0}$ con la vertical. Determine la frecuencia de las oscilaciones que realiza el sistema.

Ecuaciones de movimiento

Cada uno de los dos cuerpos “2” y “3” obedece las ecuaciones dadas por el teorema de la cantidad de movimiento y el teorema del momento cinético. En cada caso debemos incluir las posibles fuerzas de reacción sobre cada uno de los cuerpos.

Para el aro

Teorema de la cantidad de movimiento

El aro experimenta las siguientes fuerzas externas:

• Su peso $-m_{2}g{\vec {\jmath }}_{1}$
• La reacción del suelo en el punto de contacto A, la cual tiene dos componentes
  • Una vertical ${\vec {F}}_{Ay}=F_{Ay}{\vec {\jmath }}_{1}$ que impide que el aro atraviese el suelo, y mantiene el centro a una altura constante R.
  • Una horizontal, ${\vec {F}}_{Ax}=F_{Ax}{\vec {\imath }}_{1}$ que impide que el aro deslice, de manera que solo ruede.
• Una fuerza de reacción debida a la anilla. El vínculo de que la anilla permanezca en el aro se consigue realizando una fuerza normal sobre ésta ${\vec {F}}_{P}$ y, por la tercera ley de Newton, una fuerza igual y de sentido contrario $-{\vec {F}}_{P}$ se aplica en el aro.

Esto nos da la sigueinte relación

$m_{2}{\vec {a}}_{21}^{C}=m_{2}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{Ax}+{\vec {F}}_{Ay}-{\vec {F}}_{P}$

La aceleración del centro del aro es puramente horizontal

${\vec {a}}_{21}^{C}={\ddot {x}}{\vec {\imath }}_{1}$

Para expresar la fuerza ${\vec {F}}_{P}$ usamos un sistema “3” de ejes que está girado un ángulo θ respecto al sistema “1”, de manera que ${\vec {\imath }}_{3}$ es tangente al aro y ${\vec {\jmath }}_{3}$ es radial y hacia adentro.

${\vec {\imath }}_{3}=C{\vec {\imath }}_{1}+S{\vec {\jmath }}_{1}\qquad \qquad {\vec {\jmath }}_{3}=-S{\vec {\imath }}_{1}+C{\vec {\jmath }}_{1}$

($S=\mathrm {sen} (\theta ),\ C=\cos(\theta )$). Estos vectores se relacionan directamente con los correspondientes a las coordenadas polares.

Tenemos entonces

$m_{2}{\ddot {x}}{\vec {\imath }}_{1}=-m_{2}g{\vec {\jmath }}_{1}+F_{Ax}{\vec {\imath }}_{1}+F_{Ay}{\vec {\jmath }}_{1}-F_{P}{\vec {\jmath }}_{3}$

Separando por componentes

$\left\{{\begin{array}{lrcl}x:\ &m_{2}{\ddot {x}}&=&F_{Ax}+F_{P}S\\y:\ &0&=&-mg+F_{Ay}-F_{P}C\end{array}}\right.$

Estas dos ecuaciones no son suficientes para determinar el movimiento del aro.

Teorema del momento cinético

La tercera ecuación para el aro la da la evolución del momento cinético. Respecto al centro del aro

${\vec {L}}_{C}=I{\vec {\omega }}_{21}\qquad \Rightarrow \qquad L_{C}=I\omega _{21}$

Podemos usar escalares ya que ambos vectores apuntan en la dirección del eje Z, perpendicular al plano de movimiento. Podemos relacionar la velocidad angular con la velocidad de avance del centro por la condición de rodadura

${\vec {0}}={\vec {v}}_{21}^{A}+\omega _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {GA}}\qquad \Rightarrow \qquad \omega _{21}=-{\frac {\dot {x}}{R}}$

y de aquí

$\alpha _{21}=-{\ddot {x}}{R}$

La única fuerza que provoca un momento respecto al centro es la tangencial en el punto de contacto. Por ello

$I\alpha =F_{Ax}R\qquad \Rightarrow \qquad m_{2}R^{2}\left(-{\frac {\ddot {x}}{R}}\right)=F_{Ax}R\qquad \Rightarrow \qquad F_{Ax}=-m_{2}{\ddot {x}}$

Llevando esto a la componente horizontal del TCM podemos eliminar esta fuerza de reacción y queda

$2m_{2}{\ddot {x}}=F_{P}S$

Para completar el sistema necesitamos además las ecuaciones para la anilla.

Para la anilla

Considerando la anilla como una partícula, no es necesario considerar la rotación. En ese caso nos basta con el TCM, es decir, con la 2ª ley de Newton.

$m_{3}{\vec {a}}_{31}^{P}=m_{3}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{P}$

La aceleración de la partícula se relaciona con la del centro del aro como

${\vec {a}}_{31}^{P}={\vec {a}}_{31}^{P}+\alpha _{31}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {CP}}-\omega _{31}^{2}{\overrightarrow {CP}}$

siendo

${\vec {a}}_{31}^{C}={\vec {a}}_{21}^{C}={\ddot {x}}{\vec {\imath }}_{1}$

(aquí estamos imaginando un sólido o sistema de referencia "3" cuyo eje $OY_{3}$ sería el radio por C y P).

Además

$\alpha _{31}={\ddot {\theta }}\qquad \qquad \omega _{31}={\dot {\theta }}\qquad \qquad {\overrightarrow {CP}}=-R{\vec {\jmath }}_{3}$

Esto nos da

$m_{3}\left({\ddot {x}}{\vec {\imath }}_{1}+R{\ddot {\theta }}{\vec {\imath }}_{3}+R{\dot {\theta }}^{2}{\vec {\jmath }}_{3}\right)=-m_{3}g{\vec {\jmath }}_{1}+F_{P}{\vec {\jmath }}_{3}$

Esta expresión combina dos bases vectoriales. para obtener una ecuación escalar debemos proyectar sobre una dirección dada.

Ecuaciones de movimiento

Si proyectamos la ecuación vectorial de la anilla hacemos sobre ${\vec {\imath }}_{3}$ eliminamos la fuerza de reacción $F_{P}$ y queda

$m_{3}\left({\ddot {x}}C+{\ddot {\theta }}R\right)=-m_{3}gS\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {x}}C+{\ddot {\theta }}R=-gS$

Si proyectamos sobre la dirección horizontal ${\vec {\imath }}_{1}$

$m_{3}\left({\ddot {x}}+R{\ddot {\theta }}C-R{\dot {\theta }}^{2}S\right)=-F_{P}S$

Sumamos esta ecuación con la correspondiente al aro

$2m_{2}{\ddot {x}}=F_{P}S$

y nos queda

$(2m_{2}+m_{3}){\ddot {x}}+m_{3}R{\ddot {\theta }}C-m_{3}R{\dot {\theta }}^{2}S=0$

Tenemos entonces el sistema

$\left\{{\begin{array}{rcccl}{\ddot {x}}C&+&{\ddot {\theta }}R&=&-gS\\(2m_{2}+m_{3}){\ddot {x}}&+&m_{3}R{\ddot {\theta }}C&=&m_{3}R{\dot {\theta }}^{2}S\end{array}}\right.$

De aquí podemos despejar las segundas derivadas

$\left\{{\begin{array}{rcl}{\ddot {x}}&=&{\dfrac {m_{3}S(gC+{\dot {\theta }}^{2}R)}{2m_{2}+m_{3}S^{2}}}\\&&\\{\ddot {\theta }}&=&-{\dfrac {(2m_{2}+m_{3})gS+m_{3}RCS{\dot {\theta }}^{2}}{(2m_{2}+m_{3}S^{2})R}}\end{array}}\right.$

La segunda de las ecuaciones contiene solo a la variable θ y sus derivadas, con lo que puede ser resuelta sin tener en cuenta la posición x del anillo, que puede determinarse posteriormente.

Como límite de interés podemos ver qué pasa si $m_{2}\to \infty$, es decir, el aro es infinitamente masivo. En ese caso

${\ddot {x}}=0\qquad \qquad {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{R}}\mathrm {sen} (\theta )\qquad \qquad (m_{2}\to \infty )$

es decir, el aro no se mueve, mientras que la anilla cumple la ecuación del péndulo.

Constantes de movimiento

Cantidad de movimiento generalizada

En este sistema no se conserva la cantidad de movimiento,

• En su componente vertical, porque está el peso, que acelera a la anilla en esta dirección.
• En la componente horizontal, porque hay una fuerza externa $F_{Ax}$ que acelera el CM del sistema.

No obstante, si examinamos la ecuación de movimiento

$(2m_{2}+m_{3}){\ddot {x}}+m_{3}R{\ddot {\theta }}C-m_{3}R{\dot {\theta }}^{2}S=0$

vemos que esta ecuación equivale a

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}((2m_{2}+m_{3}){\dot {x}}+m_{3}R{\dot {\theta }}C)=0$

y por tanto, una constante no trivial es

$(2m_{2}+m_{3}){\dot {x}}+m_{3}R{\dot {\theta }}C=B\mathrm {cte.}$

Esta magnitud generaliza la cantidad de movimiento, incorporando un término de rotación.

De hecho, puede integrarse una segunda vez y dar

$(2m_{2}+m_{3})x+m_{3}RS=A+Bt$

con lo cual, si quisiéramos, podríamos obtener una segunda constante no trivial como

$(2m_{2}+m_{3})x+m_{3}RS-Bt=(2m_{2}+m_{3})x+m_{3}RS-((2m_{2}+m_{3}){\dot {x}}+m_{3}R{\dot {\theta }}C)t$

No obstante, hay una segunda constante con mayor significado físico.

Energía mecánica

En este sistema se conserva la energía mecánica. La justificación para ello es que:

• El peso es una fuerza conservativa que deriva de una energía potencial.
• La fuerza de reacción ${\vec {F}}_{A}$ se aplica sobre un punto de velocidad nula (el de contacto con el suelo) y por tanto no desarrolla potencia.
• La fuerza interna ${\vec {F}}_{P}$ podría, en principio, afectar a la energía, sin embargo, su potencia es suma de la que hace sobre cada sólido

$P={\vec {F}}_{P}\cdot {\vec {v}}_{31}^{P}+(-{\vec {F}}_{P})\cdot {\vec {v}}_{21}^{P}={\vec {F}}_{P}\cdot \left({\vec {v}}_{31}^{P}-{\vec {v}}_{21}^{P}\right)={\vec {F}}_{P}\cdot {\vec {v}}_{32}^{P}=0$

ya que esta fuerza es radial y la velocidad de la anilla respecto al aro es tangencial.

Por tanto la energía mecánica se conserva. Ésta es suma de

• La energía cinética del aro, suma de la de traslación y la de rotación.

$T_{2}={\frac {1}{2}}m_{2}\left|{\vec {v}}_{21}^{C}\right|^{2}+{\frac {1}{2}}I\left|{\vec {\omega }}_{2}1\right|^{2}={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}\left(m_{2}R^{2}\right)\left(-{\frac {\dot {x}}{R}}\right)^{2}=m_{2}{\dot {x}}^{2}$

• La energía cinética de la partícula

$T_{2}={\frac {1}{2}}m_{3}\left|{\vec {v}}_{31}^{P}\right|^{2}={\frac {1}{2}}m_{3}\left|{\dot {x}}{\vec {\imath }}_{1}+R{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{3}\right|^{2}={\frac {1}{2}}m_{3}\left({\dot {x}}^{2}+2R{\dot {x}}{\dot {\theta }}C+R^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)$

• La energía potencial de la partícula, que podemos medir desde la altura del centro del aro

$U_{3}=-m_{3}gC\,$

Sumando estas tres cantidades resulta la energía

$E=m_{2}{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{3}\left({\dot {x}}^{2}+2R{\dot {x}}{\dot {\theta }}C+R^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-m_{3}gC$

Podemos comprobar que esta cantidad es una constante derivando respecto al tiempo y sustituyendo las ecuaciones de movimiento.

Pequeñas oscilaciones

La ecuación de movimiento para el ángulo θ es

${\ddot {\theta }}=-{\dfrac {(2m_{2}+m_{3})gS+m_{3}RCS{\dot {\theta }}^{2}}{(2m_{2}+m_{3}S^{2})R}}$

Si consideramos pequeñas oscilaciones alrededor del punto más bajo podemos hacer las aproximaciones

$S=\mathrm {sen} (\theta )\simeq \theta \qquad \qquad C=\cos(\theta )\simeq 1\qquad \qquad {\dot {\theta }}^{2}\ll 1$

con esto queda la ecuación aproximada

${\ddot {\theta }}=-{\dfrac {(2m_{2}+m_{3})g}{2m_{2}R}}\theta$

que es la de un oscilador armónico con frecuencia

$\omega ={\sqrt {\dfrac {(2m_{2}+m_{3})g}{2m_{2}R}}}$

Para $m_{2}\to \infty$ se recupera de nuevo la ecuación del péndulo simple.