Enunciado

Sabiendo que el momento de inercia de una chapa rectangular de masa m, base b y altura h respecto a un eje tangente a la chapa, paralelo a la base por su centro es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{XX}=mh^2/12} :

  1. Halle el tensor de inercia de una chapa de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=1.20\,\mathrm{kg}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=30\,\mathrm{cm}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h=40\,\mathrm{cm}} respecto a un triedro ortogonal cuyos ejes pasan por el centro de la chapa y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_2} son paralelos a los lados.

Suponga que esta chapa se monta sobre un eje fijo “1” que pasa por su diagonal y que está articulado mediante rodamientos sin fricción. Los rodamientos se hallan, cada uno de ellos, a una distancia de 60cm del centro de la chapa. Si la chapa se hace girar con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=100\,\vec{\jmath}_1} (rad\/s), halle:

  1. El momento cinético respecto al centro de la chapa.
  2. La energía cinética de la chapa.
  3. El par aplicado respecto al CM para mantener el sistema en movimiento.
  4. La fuerza que la placa ejerce sobre los rodamientos en su rotación, suponiendo que estas fuerzas son puramente ortogonales al eje.

Puede despreciarse el efecto del peso. Puede emplearse un sistema intermedio “0” que gira con la misma velocidad angular pero que tiene su eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0} coincidente con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_1}

    

Tensor de inercia

Para el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{XX}=\frac{mh^2}{12}=\frac{1.2\times 0.40^2}{12}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2 = 0.016\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2}

Para el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{YY}=\frac{mb^2}{12}=\frac{1.2\times 0.30^2}{12}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2 = 0.009\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2}

Para el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_2} , por ser una figura plana

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{ZZ}=I_{XX}+I_{YY}=0.025\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2}

Los tres ejes son principales, por ser perpendiculares a planos de simetría, por lo que los productos de inercia son nulos. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=\begin{pmatrix}0.016 & 0 & 0 \\ 0 & 0.009 & 0 \\ 0 & 0 & 0.025\end{pmatrix}\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2}

Momento cinético

Por tratarse de ejes principales, en el sistema 2 se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=I_{XX}\omega_X\vec{\imath}_2+I_{YY}\omega_Y\vec{\jmath}_2+I_{ZZ}\omega_Z\vec{k}_2}

Solo hay que pasar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} a esa base

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=100\vec{\jmath}_1=\omega_X\vec{\imath}_2+\omega_Y\vec{\jmath}_2}

Como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_1=\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}_2+\cos(\beta)\vec{\jmath}_2=0.60\vec{\imath}_2+0.80\vec{\jmath}_2}

queda

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y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=0.016\times 60\vec{\imath}_2+0.009\times 80\vec{\jmath}_2=0.96\vec{\imath}_2+0.72\vec{\jmath}_2\ (\mathrm{J}\cdot\mathrm{s})}

Energía cinética

La energía cinética es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{L}_O=\frac{1}{2}(60\times 0.96+80\times 0.72)\mathrm{J}=57.6\,\mathrm{J}}

Par aplicado

Por el teorema del momento cinético, dado que este gira con la placa y es constante en el sistema 2

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_2+\vec{\omega}_{21}\times \vec{L}_O=\vec{0}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_2&\vec{\jmath}_2&\vec{k}_2\\ 60 & 80 & 0 \\ 0.96 & 0.72 & 0 \end{matrix}\right|=-33.6\vec{k}_2 (\mathrm{N}\cdot\mathrm{m})}

Fuerza sobre los rodamientos

Este par es producido por las fuerzas ejercidas por los rodamientos. Como el centro de masas está inmóvil, la resultante debe ser nula y tenemos un par de fuerzas. Para que el momento de el resultado anterior debe ser, empleando el sistema "0"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -33.6\vec{k}_0=\vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times \vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B=(0.60\vec{\jmath}_0)\times(F_A\vec{\imath}_0)+(-0.60\vec{\jmath}_0)\times(-F_A\vec{\imath}_0)=-1.20F_A\vec{k}_0}

y por tanto

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Esta sería la fuerza que los rodamientos ejercen sobre el eje. Por la tercera ley de Newton, la fuerza sobre los rodamientos será la opuesta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{\to A}=-28\vec{\imath}_0\qquad\qquad \vec{F}_{\to B}=+28\vec{\imath}_0}
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