Placa rectangular giratoria (CMR)

Enunciado

Sabiendo que el momento de inercia de una chapa rectangular de masa m, base b y altura h respecto a un eje tangente a la chapa, paralelo a la base por su centro es $I_{XX}=mh^{2}/12$:

1. Halle el tensor de inercia de una chapa de masa $m=1.20\,\mathrm {kg}$, $b=30\,\mathrm {cm}$ y $h=40\,\mathrm {cm}$ respecto a un triedro ortogonal cuyos ejes pasan por el centro de la chapa y $OX_{2}$ y $OY_{2}$ son paralelos a los lados.

Suponga que esta chapa se monta sobre un eje fijo “1” que pasa por su diagonal y que está articulado mediante rodamientos sin fricción. Los rodamientos se hallan, cada uno de ellos, a una distancia de 60cm del centro de la chapa. Si la chapa se hace girar con velocidad angular constante ${\vec {\omega }}_{21}=100\,{\vec {\jmath }}_{1}$ (rad\/s), halle:

2. El momento cinético respecto al centro de la chapa.
3. La energía cinética de la chapa.
4. El par aplicado respecto al CM para mantener el sistema en movimiento.
5. La fuerza que la placa ejerce sobre los rodamientos en su rotación, suponiendo que estas fuerzas son puramente ortogonales al eje.

Puede despreciarse el efecto del peso. Puede emplearse un sistema intermedio “0” que gira con la misma velocidad angular pero que tiene su eje $OY_{0}$ coincidente con el $OY_{1}$

    

Tensor de inercia

Para el eje $OX_{2}$

$I_{XX}={\frac {mh^{2}}{12}}={\frac {1.2\times 0.40^{2}}{12}}\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}=0.016\,\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}$

Para el eje $OY_{2}$

$I_{YY}={\frac {mb^{2}}{12}}={\frac {1.2\times 0.30^{2}}{12}}\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}=0.009\,\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}$

Para el eje $OZ_{2}$, por ser una figura plana

$I_{ZZ}=I_{XX}+I_{YY}=0.025\,\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}$

Los tres ejes son principales, por ser perpendiculares a planos de simetría, por lo que los productos de inercia son nulos. Por tanto

${\bar {\bar {I}}}={\begin{pmatrix}0.016&0&0\\0&0.009&0\\0&0&0.025\end{pmatrix}}\,\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}$

Momento cinético

Por tratarse de ejes principales, en el sistema 2 se cumple

${\vec {L}}_{O}=I_{XX}\omega _{X}{\vec {\imath }}_{2}+I_{YY}\omega _{Y}{\vec {\jmath }}_{2}+I_{ZZ}\omega _{Z}{\vec {k}}_{2}$

Solo hay que pasar ${\vec {\omega }}_{21}$ a esa base

${\vec {\omega }}_{21}=100{\vec {\jmath }}_{1}=\omega _{X}{\vec {\imath }}_{2}+\omega _{Y}{\vec {\jmath }}_{2}$

Como

${\vec {\jmath }}_{1}=\mathrm {sen} (\beta ){\vec {\imath }}_{2}+\cos(\beta ){\vec {\jmath }}_{2}=0.60{\vec {\imath }}_{2}+0.80{\vec {\jmath }}_{2}$

queda

${\vec {\omega }}=60{\vec {\imath }}_{2}+80{\vec {\jmath }}_{2}\ (\mathrm {rad} /\mathrm {s} )$

y

${\vec {L}}_{O}=0.016\times 60{\vec {\imath }}_{2}+0.009\times 80{\vec {\jmath }}_{2}=0.96{\vec {\imath }}_{2}+0.72{\vec {\jmath }}_{2}\ (\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} )$

Energía cinética

La energía cinética es

$T={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {L}}_{O}={\frac {1}{2}}(60\times 0.96+80\times 0.72)\mathrm {J} =57.6\,\mathrm {J}$

Par aplicado

Por el teorema del momento cinético, dado que este gira con la placa y es constante en el sistema 2

${\vec {M}}_{O}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{2}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {L}}_{O}={\vec {0}}+\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}_{2}&{\vec {\jmath }}_{2}&{\vec {k}}_{2}\\60&80&0\\0.96&0.72&0\end{matrix}}\right|=-33.6{\vec {k}}_{2}(\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} )$

Fuerza sobre los rodamientos

Este par es producido por las fuerzas ejercidas por los rodamientos. Como el centro de masas está inmóvil, la resultante debe ser nula y tenemos un par de fuerzas. Para que el momento de el resultado anterior debe ser, empleando el sistema "0"

$-33.6{\vec {k}}_{0}={\vec {M}}_{O}={\overrightarrow {OA}}\times {\vec {F}}_{A}+{\overrightarrow {OB}}\times {\vec {F}}_{B}=(0.60{\vec {\jmath }}_{0})\times (F_{A}{\vec {\imath }}_{0})+(-0.60{\vec {\jmath }}_{0})\times (-F_{A}{\vec {\imath }}_{0})=-1.20F_{A}{\vec {k}}_{0}$

y por tanto

$F_{A}=28\,\mathrm {N} \qquad \qquad {\vec {F}}_{A}=+28{\vec {\imath }}_{0}\qquad \qquad {\vec {F}}_{B}=-28{\vec {\imath }}_{0}$

Esta sería la fuerza que los rodamientos ejercen sobre el eje. Por la tercera ley de Newton, la fuerza sobre los rodamientos será la opuesta

${\vec {F}}_{\to A}=-28{\vec {\imath }}_{0}\qquad \qquad {\vec {F}}_{\to B}=+28{\vec {\imath }}_{0}$