Momento de inercia de sólidos esféricos

Enunciado

Calcule el momento de inercia de una esfera maciza, de masa M y radio R alrededor de un eje que pasa por su centro.

A partir del resultado anterior, halle el momento de inercia de una esfera hueca, de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂ respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado cuando la corona se reduce a una superficie esférica de radio R?

Esfera maciza

Existen diferentes formas de abordar este problema, que es un clásico de cálculo integral.

Aquí lo haremos considerando la esfera como superposición de discos de espesor diferencial.

Si tenemos un disco de radio $r$, altura diferencial $\mathrm {d} z$, su momento de inercia, también diferencial, es el correspondiente a un cilindro macizo

$\mathrm {d} I={\frac {1}{2}}\mathrm {d} m\,r^{2}$

siendo la masa de cada disco el producto de la densidad por el volumen

$\mathrm {d} m=\rho \,\mathrm {d} V=\pi \rho r^{2}\,\mathrm {d} z$

La densidad de una esfera maciza homogénea es igual a la masa total dividida por el volumen total

$\rho ={\frac {M}{4\pi R^{3}/3}}={\frac {3M}{4\pi R^{3}}}$

lo que nos da el diferencial de masa

$\mathrm {d} m={\frac {3Mr^{2}\,\mathrm {d} z}{4R^{3}}}$

y de momento de inercia

$\mathrm {d} I={\frac {3Mr^{4}}{8R^{3}}}\,\mathrm {d} z$

El momento de inercia total de la esfera será la suma de los de todos los discos apilados

$I=\int _{M}\mathrm {d} I=\int _{-R}^{R}{\frac {3Mr^{4}}{8R^{3}}}\,\mathrm {d} z$

En esta integral aparece el radio de cada disco, pero la variable de integración es la altura z a la que se encuentra cada uno (considerando el origen en el centro de la esfera). Estas dos cantidades se relacionan por el teorema de Pitágoras

$r^{2}+z^{2}=R^{2}\,$

lo que nos deja con la integral

$I={\frac {3M}{8R^{3}}}\int _{-R}^{R}(R^{2}-z^{2})^{2}\,\mathrm {d} z$

con solución

$I={\frac {2}{5}}MR^{2}$

Corona esférica

Cuando tenemos una corona esférica, de masa M, radio interior $R_{1}$ y exterior $R_{2}$, podemos emplear la misma técnica que en otros problemas y considerar masas negativas.

La corona esférica puede verse como la superposición de una esfera de radio $R_{2}$ y densidad $+\rho$ con una de radio $R_{1}$, densidad $-\rho$, concéntrica con la primera.

La masa de cada esfera sería

$M_{2}={\frac {4\pi }{3}}\rho R_{2}^{3}\qquad \qquad M_{1}=-{\frac {4\pi }{3}}\rho R_{1}^{3}$

debiéndose cumplir que la masa total valga $M$

$M=M_{1}+M_{2}={\frac {4\pi }{3}}\rho (R_{2}^{3}-R_{1}^{3})\qquad \Rightarrow \qquad \rho ={\frac {3M}{4\pi (R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}}$

Los momentos de inercia de cada esfera valen, de la misma manera,

$I_{2}={\frac {2}{5}}M_{2}R_{2}^{2}={\frac {8\pi }{15}}\rho R_{2}^{5}\qquad \qquad I_{1}={\frac {2}{5}}M_{1}R_{1}^{3}=-{\frac {8\pi }{15}}\rho R_{1}^{5}$

Sumando las dos contribuciones hallamos el momento de inercia de la esfera completa

$I=I_{1}+I_{2}={\frac {8\pi \rho (R_{2}^{5}-R_{1}^{5})}{15}}$

Sustituimos aquí el valor de la densidad de masa

$I={\frac {2M(R_{2}^{5}-R_{1}^{5})}{5(R_{2}^{3}-R_{1}^{3})}}$

Esfera hueca

La expresión anterior conduce a la de una esfera maciza sin más que hacer $R_{1}=0$.

Para obtener el momento de inercia de una superficie esférica de masa M y radio R hay que ser más cuidadoso, ya que al hacer $R_{1}=R_{2}=R$ aparece una indeterminación del tipo 0/0. Puede resolverse aplicando la regla de L'Hôpital

$I=\lim _{R_{1}\to R}{\frac {2M(R^{5}-R_{1}^{5})}{5(R^{3}-R_{1}^{3})}}={\frac {2M}{5}}\,{\frac {(-5R^{4})}{(-3R^{2})}}={\frac {2}{3}}MR^{2}$